Examkin

Soru

Zorluk: ZorFonksiyonların Dikey ve Yatay Ötelenmesi

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve çift olan bir ff fonksiyonunun grafiğinin xx eksenini kestiği noktaların apsisleri −5,−2,2-5, -2, 2 ve 55'tir. Bu fonksiyonun en büyük değeri 44 olup bu değeri x=0x = 0 noktasında almaktadır.

Bu ff fonksiyonu kullanılarak,
g(x)=f(x−3)+2g(x) = f(x - 3) + 2
h(x)=f(x+1)−1h(x) = f(x + 1) - 1

fonksiyonları tanımlanıyor.

Buna göre;
I. g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği, f(x)f(x) fonksiyonunun grafiğinin xx ekseni boyunca sola 3 birim ve yy ekseni boyunca yukarı 2 birim ötelenmesiyle elde edilir.
II. h(x)h(x) fonksiyonunun grafiği x=−1x = -1 doğrusuna göre simetriktir.
III. f(x)f(x) fonksiyonu [0,2][0, 2] aralığında azalan ise, g(x)g(x) fonksiyonu [1,3][1, 3] aralığında artandır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

  1. A
    Yalnız II
  2. B
    I ve II
  3. C
    I ve III
  4. II ve IIICevap
  5. E
    I, II ve III

Cevap

II ve III
Doğru yanıt olan seçenek II ve III öncüllerini içermektedir. I. öncülde verilen sola öteleme ifadesi yanlıştır çünkü f(x−3)f(x - 3) dönüşümü grafiği sağa öteler. II. öncülde çift fonksiyonun x=0x = 0 doğrusuna göre olan simetrisinin, sola 1 birim ötelenerek x=−1x = -1 doğrusuna taşındığı doğru ifade edilmiştir. III. öncülde çift fonksiyonun simetrisinden dolayı [−2,0][-2, 0] aralığında artan olduğu ve sağa 3 birim öteleme ile bu artanlığın [1,3][1, 3] aralığına taşındığı doğru analiz edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
I. öncülün analiz edilmesi ve öteleme yönünün belirlenmesi
I. öncül yanlıştır.
g(x)=f(x−3)+2g(x) = f(x - 3) + 2 fonksiyonu, f(x)f(x) fonksiyonunun grafiğinin xx ekseni boyunca pozitif yönde (sağa doğru) 3 birim ve yy ekseni boyunca pozitif yönde (yukarı doğru) 2 birim ötelenmesiyle elde edilir. Öncüldeki 'sola 3 birim' ifadesi yatay öteleme yönünün ters alınmasından dolayı hatalıdır.
2
II. öncülün simetri ekseni değişimi üzerinden incelenmesi
II. öncül doğrudur.
f(x)f(x) çift bir fonksiyon olduğundan grafiği y-eksenine (x=0x = 0 doğrusuna) göre simetriktir. h(x)=f(x+1)−1h(x) = f(x + 1) - 1 fonksiyonu tanımlanırken, f(x)f(x) grafiği xx ekseni boyunca sola 1 birim kaydırılır. Bu durum simetri eksenini de sola 1 birim kaydırarak x=−1x = -1 doğrusu yapar. Dikey eksendeki −1-1 birimlik öteleme ise düşey simetri ekseninin konumunu değiştirmez.
3
III. öncülün çift fonksiyon simetrisi ve öteleme ile monotonicity ilişkisi üzerinden incelenmesi
III. öncül doğrudur.
f(x)f(x) çift fonksiyonu [0,2][0, 2] aralığında azalan ise, y-eksenine göre simetrik olmasından dolayı [−2,0][-2, 0] aralığında artan olmak zorundadır. g(x)=f(x−3)+2g(x) = f(x - 3) + 2 fonksiyonunun grafiği, f(x)f(x)'in sağa 3 birim ötelenmiş hali olduğundan, f(x)f(x)'in [−2,0][-2, 0] aralığındaki artanlık özelliği g(x)g(x) için [−2+3,0+3]=[1,3][-2 + 3, 0 + 3] = [1, 3] aralığına taşınır. Dolayısıyla g(x)g(x) fonksiyonu [1,3][1, 3] aralığında artandır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların simetri özellikleri ile dikey ve yatay öteleme dönüşümlerinin fonksiyonların tanım kümesi ve monotonicity (artanlık/azalanlık) üzerindeki etkileri.
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyonların Dikey ve Yatay Ötelenmesi

Bu konudan daha fazla soru