Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
Dik koordinat düzleminde, aa bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x2−(2a−4)x+a2−2a−4f(x) = x^2 - (2a-4)x + a^2 - 2a - 4
parabollerinin tepe noktalarının üzerinde bulunduğu doğrunun eksenlerle oluşturduğu kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
  1. 4Cevap
  2. B
    8
  3. C
    1
  4. D
    36
  5. E
    9

Cevap

Tepe noktalarının üzerinde bulunduğu doğrunun eksenlerle oluşturduğu kapalı bölgenin alanı 4 birimkaredir.
Tepe noktasının apsisi r=a−2r = a - 2 olup a=r+2a = r + 2 bağıntısı elde edilir. Ordinat ise k=f(a−2)=2a−8k = f(a-2) = 2a - 8 olarak hesaplanır. Bu iki bağıntı birleştirildiğinde tepe noktalarının y=2x−4y = 2x - 4 doğrusu üzerinde yer aldığı görülür. Bu doğrunun eksenlerle oluşturduğu dik üçgenin dik kenarları 2 ve 4 birim olduğundan, alanı 4 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının apsisi (rr) bulunur.
r=−b2alead=−−(2a−4)2=a−2r = -\frac{b}{2a_{lead}} = -\frac{-(2a-4)}{2} = a - 2 olur. Buradan aa parametresi a=r+2a = r + 2 olarak çekilir.
Tepe noktasının koordinatları arasındaki bağıntıyı kurmak için öncelikle apsis değeri parametre cinsinden ifade edilmelidir.
2
Tepe noktasının ordinatı (kk) bulunur.
k=f(r)=f(a−2)=(a−2)2−(2a−4)(a−2)+a2−2a−4=−(a−2)2+a2−2a−4=2a−8k = f(r) = f(a-2) = (a-2)^2 - (2a-4)(a-2) + a^2 - 2a - 4 = -(a-2)^2 + a^2 - 2a - 4 = 2a - 8 elde edilir.
Tepe noktasının ordinatını bulmak için apsis değeri fonksiyonda yerine yazılır.
3
Apsis ve ordinat arasındaki bağıntı kurularak doğrunun denklemi elde edilir.
a=r+2a = r + 2 ifadesi k=2a−8k = 2a - 8 eşitliğinde yerine yazıldığında k=2(r+2)−8=2r−4k = 2(r+2) - 8 = 2r - 4 bulunur. Koordinatlar (x,y)(x,y) olarak yazılırsa doğru denklemi y=2x−4y = 2x - 4 olur.
Tepe noktalarının geometrik yerini belirlemek için apsis (xx) ile ordinat (yy) arasındaki doğrusal ilişki kurulur.
4
Doğrunun koordinat eksenleriyle sınırladığı bölgenin alanı hesaplanır.
x=0  ⟹  y=−4x = 0 \implies y = -4 ve y=0  ⟹  x=2y = 0 \implies x = 2 noktalarında eksenler kesilir. Dik üçgenin alanı ∣2∣⋅∣−4∣2=4\frac{|2| \cdot |-4|}{2} = 4 birimkare olarak bulunur.
Eksenlerle oluşturulan dik ��çgenin dik kenar uzunlukları eksenleri kestiği noktaların orijine olan uzaklıklarıdır.

Anahtar Kavram

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni koordinat ilişkileri ve parametrik fonksiyonların geometrik yer denklemleri.

Alternatif Yöntem

Verilen f(x)f(x) fonksiyonu tam kareye tamamlama yöntemiyle f(x)=(x−(a−2))2+2a−8f(x) = (x - (a-2))^2 + 2a - 8 şeklinde yazılabilir. Buradan tepe noktasının doğrudan T(a−2,2a−8)T(a-2, 2a-8) olduğu görülür. Apsis x=a−2x = a-2 ve ordinat y=2a−8y = 2a-8 eşitliklerinden aa parametresi yok edilerek doğrudan y=2x−4y = 2x - 4 doğrusu elde edilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

Bu konudan daha fazla soru