Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

x∈(5π6,π)x \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right) olmak üzere,

a=cos⁡(x−π)a = \cos(x - \pi)
b=sin⁡(x+π2)b = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)
c=cot⁡(x−π2)c = \cot\left(x - \frac{\pi}{2}\right)

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. b<c<ab < c < aCevap
  2. B
    b<a<cb < a < c
  3. C
    c<b<ac < b < a
  4. D
    a<c<ba < c < b
  5. E
    a<b<ca < b < c

Cevap

b < c < a
Verilen ifadeler sadeleştirildiğinde bb değerinin negatif, aa ve cc değerlerinin ise pozitif olduğu görülür. İkinci bölgenin son kısmında yer alan açılar için kosinüs değerinin mutlak değeri tanjant değerinin mutlak değerinden büyük olduğundan, pozitif halleri karşılaştırıldığında aa değeri cc değerinden daha büyük olur. Bu durum en küçük değerin bb, en büyük değerin ise aa olmasını gerektirir.

Adım Adım Çözüm

1
İfadeleri trigonometrik indirgeme formüllerini kullanarak sadeleştirin.
a=cos⁡(x−π)=cos⁡(π−x)=−cos⁡xa = \cos(x - \pi) = \cos(\pi - x) = -\cos x
b=sin⁡(x+π2)=cos⁡xb = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos x
c=cot⁡(x−π2)=−cot⁡(π2−x)=−tan⁡xc = \cot\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\tan x
Değerleri aynı açı cinsinden yazarak karşılaştırmayı kolaylaştırmak.
2
x∈(5π6,π)x \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right) aralığına göre trigonometrik fonksiyonların işaretlerini belirleyin.
İkinci bölgede olduğumuz için:
sin⁡x>0\sin x > 0
cos⁡x<0\cos x < 0
tan⁡x<0\tan x < 0

Buna göre:
b=cos⁡x<0b = \cos x < 0 (negatif)
a=−cos⁡x>0a = -\cos x > 0 (pozitif)
c=−tan⁡x>0c = -\tan x > 0 (pozitif)
Sıralamadaki temel işaret farklılıklarını tespit etmek.
3
aa ve cc pozitif değerlerini karşılaştırmak için farklarını inceleyin.
a−c=−cos⁡x−(−tan⁡x)=tan⁡x−cos⁡x=sin⁡x−cos⁡2xcos⁡xa - c = -\cos x - (-\tan x) = \tan x - \cos x = \frac{\sin x - \cos^2 x}{\cos x} olarak yazılır.

x∈(5π6,π)x \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right) aralığında 0<sin⁡x<sin⁡(5π6)=120 < \sin x < \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} olur.

Pay kısmını sin⁡x\sin x cinsinden yazarsak:
sin⁡x−cos⁡2x=sin⁡2x+sin⁡x−1\sin x - \cos^2 x = \sin^2 x + \sin x - 1

sin⁡x=t\sin x = t dönüşümüyle, t∈(0,12)t \in \left(0, \frac{1}{2}\right) için t2+t−1<(12)2+12−1=−14<0t^2 + t - 1 < \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{4} < 0 olur. Yani pay negatiftir.

Payda olan cos⁡x\cos x de ikinci bölgede negatif olduğundan, iki negatifin oranı pozitiftir: a−c>0  ⟹  a>ca - c > 0 \implies a > c.
Aynı işaretli iki ifadenin büyüklük ilişkisini kesin olarak saptamak.
4
Elde edilen tüm sonuçları birleştirerek sıralamayı oluşturun.
b<0b < 0 ve a>c>0a > c > 0 olduğundan, doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.
Sorunun nihai cevabına ulaşmak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre indirgenmesi ve sıralanması
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru