Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

Dik koordinat düzleminde,

f(x)=x2−2mx+m2−2m+6f(x) = x^2 - 2mx + m^2 - 2m + 6

parabolünün tepe noktas�� TT noktasıdır. Bu parabolün simetri ekseni üzerinde bulunan bir AA noktası ile TT noktası arasındaki uzaklık 33 birimdir.

AA noktasının koordinatları toplamı 1111 olduğuna göre, mm gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır?

  1. A
    -10
  2. B
    -8
  3. C
    -2
  4. D
    10
  5. 16Cevap

Cevap

m gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin çarpımı 16'dır.
Parabolün tepe noktası T(m,−2m+6)T(m, -2m+6) ve simetri ekseni x=mx = m doğrusudur. Bu eksen üzerindeki A noktasının koordinatları toplamı 11 olduğundan koordinatları A(m,11−m)A(m, 11-m) şeklinde yazılır. İki nokta arasındaki düşey uzaklık ∣(11−m)−(−2m+6)∣=3|(11-m) - (-2m+6)| = 3 eşitliğinden ∣m+5∣=3|m+5| = 3 mutlak değerli denklemini verir. Buradan elde edilen m=−2m = -2 ve m=−8m = -8 değerlerinin çarpımı 16 sonucunu doğrulayarak doğru cevabı verir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının koordinatlarını m parametresi cinsinden bulalım.
T(m,−2m+6)T(m, -2m + 6)
Bir parabolün tepe noktası T(r,k)T(r, k) olmak üzere, r=−b2ar = -\frac{b}{2a} ve k=f(r)k = f(r) formülleriyle hesaplanır. Burada a=1a = 1 ve b=−2mb = -2m olduğundan r=mr = m olur. k=f(m)=m2−2m(m)+m2−2m+6=−2m+6k = f(m) = m^2 - 2m(m) + m^2 - 2m + 6 = -2m + 6 elde edilir.
2
Simetri eksenini belirleyelim ve bu doğru üzerindeki A noktasının koordinatlarını yazalım.
A(m,11−m)A(m, 11 - m)
Parabolün simetri ekseni x=rx = r, yani x=mx = m doğrusudur. A noktası bu doğru üzerinde olduğundan apsisi xA=mx_A = m olur. Koordinatları toplamı 11 olduğundan, yA=11−my_A = 11 - m bulunur.
3
İki nokta arasındaki uzaklık bağıntısını kullanarak m değerlerini bulalım.
m=−2m = -2 ve m=−8m = -8
A ve T noktalarının apsisleri aynı olduğundan, aralarındaki uzaklık ordinatlarının farkının mutlak değeridir: ∣yA−yT∣=3⇒∣(11−m)−(−2m+6)∣=3⇒∣m+5∣=3|y_A - y_T| = 3 \Rightarrow |(11 - m) - (-2m + 6)| = 3 \Rightarrow |m + 5| = 3 olur. Buradan m+5=3⇒m=−2m + 5 = 3 \Rightarrow m = -2 veya m+5=−3⇒m=−8m + 5 = -3 \Rightarrow m = -8 elde edilir.
4
Elde edilen m değerlerinin çarpımını hesaplayalım.
1616
Bulunan farklı m değerlerinin çarpımı (−2)×(−8)=16(-2) \times (-8) = 16 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktasının koordinatlarının belirlenmesi ve simetri ekseninin geometrik anlamı.
Bu soruyu puanla

Konular

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

Bu konudan daha fazla soru