Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere tanımlanan aşağıdaki aa, bb ve cc ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1c=sin⁡4x−cos⁡4xsin⁡x−cos⁡xc = \frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\sin x - \cos x}
  2. 2a=sin⁡x−cos⁡xtan⁡x−cot⁡xa = \frac{\sin x - \cos x}{\tan x - \cot x}
  3. 3b=1−2sin⁡2xsin⁡x+cos⁡xb = \frac{1 - 2\sin^2 x}{\sin x + \cos x}

Cevap

Küçükten büyüğe sıralama c < a < b şeklindedir.
Verilen aralıkta ifadeler sadeleştirildiğinde; en küçük değerin negatif ve −1-1'den küçük olan toplam ifadesi, ortanca değerin negatif ancak sıfıra daha yakın olan rasyonel ifade, en büyük değerin ise pozitif olan fark ifadesi olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
İlk ifadenin (aa) sadeleştirilmesi
a=sin⁡xcos⁡xsin⁡x+cos⁡xa = \frac{\sin x \cos x}{\sin x + \cos x}
Paydadaki tan⁡x−cot⁡x\tan x - \cot x ifadesi sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x} olarak yazılır. Pay ile payda oranlandığında ortak çarpan olan sin⁡x−cos⁡x\sin x - \cos x sadeleşir.
2
İkinci ifadenin (bb) sadeleştirilmesi
b=cos⁡x−sin⁡xb = \cos x - \sin x
1−2sin⁡2x=sin⁡2x+cos⁡2x−2sin⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x1 - 2\sin^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin^2 x = \cos^2 x - \sin^2 x özdeşliği kullan��lır. Bu ifade iki kare farkı olarak (cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) şeklinde yazılıp paydadaki terimle sadeleştirilir.
3
Üçüncü ifadenin (cc) sadeleştirilmesi
c=sin⁡x+cos⁡xc = \sin x + \cos x
Pay kısmındaki sin⁡4x−cos⁡4x\sin^4 x - \cos^4 x ifadesi iki kare farkı olarak (sin⁡2x−cos⁡2x)(sin⁡2x+cos⁡2x)(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) şeklinde çarpanlarına ayrılır. sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 olduğundan pay sin⁡2x−cos⁡2x=(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)\sin^2 x - \cos^2 x = (\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x) olur ve paydadaki terimle sadeleşir.
4
İfadelerin işaretlerinin ve büyüklüklerinin bölgelere göre analizi
c<a<bc < a < b
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığı 3. bölgenin ikinci yarısıdır. Bu aralıkta −1<sin⁡x<−22<cos⁡x<0-1 < \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} < \cos x < 0 bağıntısı geçerlidir. Buradan b=cos⁡x−sin⁡x>0b = \cos x - \sin x > 0 bulunur. c=sin⁡x+cos⁡x<−1c = \sin x + \cos x < -1 ve a=sin⁡xcos⁡xsin⁡x+cos⁡x∈(−0.354,0)a = \frac{\sin x \cos x}{\sin x + \cos x} \in (-0.354, 0) olduğundan c<a<bc < a < b sıralaması elde edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşliklerin sadeleştirilmesi ve birim çember üzerindeki bölgelere göre trigonometrik değerlerin sıralanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru