Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−6x+kf(x) = x^2 - 6x + k
parabolünün tepe noktası TT'dir.
Bu parabolün simetri ekseni,
y=2x−1y = 2x - 1
doğrusunu PP noktasında kesmektedir.

PP noktasının TT noktasına olan uzaklığı 44 birim olduğuna göre, kk gerçel sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır?

  1. 28Cevap
  2. B
    20
  3. C
    18
  4. D
    10
  5. E
    -68

Cevap

k gerçel sayısının alabileceği değerler toplamı 28'dir.
Parabolün simetri ekseni x = 3 doğrusudur. Bu doğrunun y = 2x - 1 doğrusuyla kesişim noktası P(3, 5) olarak bulunur. Parabolün tepe noktası ise T(3, k-9) olur. P ile T noktaları arasındaki uzaklık |5 - (k-9)| = |14 - k| = 4 olup buradan k sayısı 10 veya 18 değerlerini alabilir. Bu değerlerin toplamı 28'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün simetri ekseninin bulunması
x = 3 doğrusu
Parabolün simetri ekseni x = r = -b/(2a) formül��yle bulunur. f(x) = x^2 - 6x + k için r = -(-6)/(2*1) = 3'tür.
2
Simetri ekseni ile doğrunun kesişim noktası P'nin koordinatlarının belirlenmesi
P(3, 5)
Simetri ekseni olan x = 3 doğrusu, y = 2x - 1 doğrusunu kestiği için kesişim noktasının apsisi x = 3'tür. Doğru denkleminde x yerine 3 yazıldığında ordinat y = 2(3) - 1 = 5 bulunur.
3
Tepe noktası T'nin koordinatlarının k cinsinden ifade edilmesi
T(3, k - 9)
Tepe noktasının apsisi r = 3'tür. Ordinatı ise k_0 = f(3) = 3^2 - 6(3) + k = k - 9 olur.
4
P ve T noktaları arasındaki uzaklık bağıntısının kurulması ve çözülmesi
k = 10 veya k = 18
P(3, 5) ve T(3, k-9) noktaları aynı dikey doğru üzerinde olduğundan, aralarındaki uzaklık ordinatlarının farkının mutlak değerine eşittir: |5 - (k - 9)| = 4, buradan |14 - k| = 4 elde edilir. Bu eşitlikten 14 - k = 4 ise k = 10, ve 14 - k = -4 ise k = 18 bulunur.
5
k değerlerinin toplamının hesaplanması
10 + 18 = 28
Bulunan k değerleri toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Parabolün simetri ekseni x = -b/(2a) doğrusudur ve tepe noktası T(r, k_0) bu simetri ekseni üzerindedir.
Bu soruyu puanla

Konular

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

Bu konudan daha fazla soru