Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x+cos⁡xb=sin⁡x⋅cos⁡xc=tan⁡x+cot⁡x\begin{aligned} a &= \sin x + \cos x \\ b &= \sin x \cdot \cos x \\ c &= \tan x + \cot x \end{aligned}
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. c < b < aCevap
  2. B
    b < c < a
  3. C
    b < a < c
  4. D
    c < a < b
  5. E
    a < b < c

Cevap

c < b < a sıralaması doğrudur.
İkinci bölgenin belirtilen aralığında sin⁡x\sin x pozitif, cos⁡x\cos x negatiftir. sin⁡x\sin x değeri mutlak değerce cos⁡x\cos x değerinden büyük olduğu için toplamları olan aa pozitif bir değer alır. Sinüs ve kosinüsün çarpımı olan bb negatif olup [−1/2,0)[-1/2, 0) aralığındadır. c=tan⁡x+cot⁡xc = \tan x + \cot x ifadesi 1sin⁡xcos⁡x=1b\frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{1}{b} olarak yazıldığında, negatif basit kesir olan bb değerinin çarpmaya göre tersi −2-2 veya daha küçük olur. Bu durumda negatif olan değerlerden cc, bb'den daha küçüktür; pozitif olan aa ise en büyüktür. Dolayısıyla doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bulunduğu bölgeyi belirleyip, trigonometrik fonksiyonların işaretlerini analiz edelim.
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığı ikinci bölgededir. Bu aralıkta sin⁡x>0\sin x > 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 olur. Ayrıca xx açısı 90∘90^\circ ile 135∘135^\circ arasında olduğundan, birim çemberde sinüs eksenine daha yakındır ve sin⁡x>∣cos⁡x∣\sin x > |\cos x| eşitsizliği sağlanır. Buradan a=sin⁡x+cos⁡x>0a = \sin x + \cos x > 0 elde edilir.
Değişkenlerin işaretlerini ve büyüklük ilişkilerini belirlemek için.
2
b değerinin işaretini ve aralığını bulalım.
b=sin⁡x⋅cos⁡xb = \sin x \cdot \cos x ifadesi pozitif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımı olduğundan negatiftir (b<0b < 0). Yarım açı formülünü kullanarak b=sin⁡(2x)2b = \frac{\sin(2x)}{2} yazabiliriz. x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) ise 2x∈(π,3π2)2x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olur. Bu üçüncü bölgede sinüs fonksiyonu [−1,0)[-1, 0) aralığında değer aldığından, b∈[−12,0)b \in \left[-\frac{1}{2}, 0\right) aralığındadır.
Çarpımın değer sınırlarını belirlemek için.
3
c değerini özdeşlikler yardımıyla düzenleyelim ve b değeri ile ilişkilendirelim.
c=tan⁡x+cot⁡x=sin⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=1sin⁡xcos⁡x=1bc = \tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{1}{b} olur. b∈[−12,0)b \in \left[-\frac{1}{2}, 0\right) olduğundan, çarpmaya göre tersi olan c=1b≤−2c = \frac{1}{b} \le -2 olur.
c ve b arasındaki büyüklük ilişkisini kurmak için.
4
Elde edilen tüm değer aralıklarını birleştirerek doğru sıralamayı bulalım.
c≤−2c \le -2, −12≤b<0-\frac{1}{2} \le b < 0 ve a>0a > 0 olduğundan, doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.
Sıralamayı nihayete erdirmek için.

Anahtar Kavram

İkinci bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretleri, tan⁡x+cot⁡x=1sin⁡xcos⁡x\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x} özdeşliği ve basit kesirlerin çarpmaya göre tersinin sıralamadaki etkisi.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru