Examkin

Soru

Zorluk: ZorBasit Olayların Olasılığı

A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\} kümesi üzerinde tanımlı tüm bire bir ve örten f:A→Af: A \rightarrow A fonksiyonları arasından rastgele bir ff fonksiyonu seçiliyor.

Seçilen bu fonksiyonun, her x∈Ax \in A için
(f∘f)(x)=x(f \circ f)(x) = x
koşulunu sağlama olasılığı en sade biçimde ab\frac{a}{b} kesri ile ifade ediliyor.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevap: 73

Cevap

En sade haldeki olasılık değerinin pay ve paydasının toplamı olan 73 sayısıdır.
Bire bir ve örten bir fonksiyonun kendi tersine eşit olması için elemanlarının ya kendilerine gitmesi ya da ikişerli yer değiştirmesi gerekir. Bu koşulu sağlayan durumların sayısı 1+(52)+(51)⋅(42)2!=261 + \binom{5}{2} + \binom{5}{1} \cdot \frac{\binom{4}{2}}{2!} = 26 adettir. Tüm bire bir ve örten fonksiyonların sayısı 5!=1205! = 120 olduğundan olasılık 26120=1360\frac{26}{120} = \frac{13}{60} olarak elde edilir. En sade biçimdeki pay ve paydanın toplamı ise 13+60=7313 + 60 = 73 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Örnek uzayın eleman sayısını hesaplama
s(E)=120s(E) = 120
AA kümesinden AA kümesine tanımlanabilecek tüm bire bir ve örten fonksiyonların sayısı 5!5! ile hesaplanır.
2
İstenen durumları sağlayan fonksiyon sayısını belirleme
26 farklı fonksiyon
(f∘f)(x)=x(f \circ f)(x) = x koşulu, fonksiyonun kendi tersine eşit olması anlamına gelir. Bu durum elemanların ya kendileriyle eşleşmesini ya da ikili gruplar halinde karşılıklı eşleşmesini gerektirir. 5 elemanlı bir kümede bu durumların sayısı 1+(52)+(51)⋅(42)2!=1+10+15=261 + \binom{5}{2} + \binom{5}{1} \cdot \frac{\binom{4}{2}}{2!} = 1 + 10 + 15 = 26 olarak bulunur.
3
Olasılığı hesaplama ve sadeleştirme
Olasılık = 1360\frac{13}{60}
İstenen durum sayısının tüm durumların sayısına oranı 26120=1360\frac{26}{120} = \frac{13}{60} olarak elde edilir.
4
Pay ve payda toplamını bulma
73
a=13a = 13 ve b=60b = 60 değerleri toplanarak istenen sonuç olan 13+60=7313 + 60 = 73 elde edilir.

Anahtar Kavram

Bire bir ve örten fonksiyonların döngü yapıları kullanılarak permütasyon ve kombinasyon yardımıyla basit olayların olasılığının hesaplanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Basit Olayların Olasılığı

Bu konudan daha fazla soru