Examkin

Soru

Zorluk: KolayTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
a=sin⁡(190∘)a = \sin(190^\circ)
b=cos⁡(280∘)b = \cos(280^\circ)
c=tan⁡(100∘)c = \tan(100^\circ)

olmak üzere; aa, bb ve cc değerlerinin küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    a<b<ca < b < c
  2. B
    c<b<ac < b < a
  3. c<a<bc < a < bCevap
  4. D
    a<c<ba < c < b
  5. E
    b<a<cb < a < c

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.
Açıların bölgelerine göre işaretleri belirlendiğinde; 280∘280^\circ IV. bölgede olduğundan kosinüs değeri pozitif (b>0b > 0), 190∘190^\circ III. bölgede olduğundan sinüs değeri negatif (a<0a < 0) ve 100∘100^\circ II. bölgede olduğundan tanjant değeri negatif (c<0c < 0) olur. Negatif olan iki değer karşılaştırıldığında, tan⁡(100∘)=−tan⁡(80∘)<−1\tan(100^\circ) = -\tan(80^\circ) < -1 iken sin⁡(190∘)=−sin⁡(10∘)>−1\sin(190^\circ) = -\sin(10^\circ) > -1 olduğundan c<ac < a elde edilir. Pozitif olan bb değeri ise en büyüktür. Dolayısıyla doğru sıralama c<a<bc < a < b olur.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik değerlerin açılarının hangi bölgelerde olduğunu belirleme.
190∘190^\circ açısı III. bölgededir. 280∘280^\circ açısı IV. bölgededir. 100∘100^\circ açısı II. bölgededir.
Sıralama yapabilmek için öncelikle açıların koordinat düzlemindeki bölgelerini saptamamız gerekir.
2
Belirlenen bölgelere göre her bir trigonometrik değerin işaretini bulma.
a=sin⁡(190∘)<0a = \sin(190^\circ) < 0 (III. bölgede sinüs negatiftir).
b=cos⁡(280∘)>0b = \cos(280^\circ) > 0 (IV. bölgede kosinüs pozitiftir).
c=tan⁡(100∘)<0c = \tan(100^\circ) < 0 (II. bölgede tanjant negatiftir).
İşaretler sayesinde pozitif olan değerin en büyük olduğunu doğrudan belirleyebiliriz. Bu durumda en büyük değer bb olacaktır.
3
Negatif olan aa ve cc değerlerini kendi aralarında karşılaştırma.
a=sin⁡(190∘)=−sin⁡(10∘)a = \sin(190^\circ) = -\sin(10^\circ) olup sıfıra oldukça yakındır (−1<a<0-1 < a < 0).
c=tan⁡(100∘)=−tan⁡(80∘)c = \tan(100^\circ) = -\tan(80^\circ) olup −1-1'den çok daha küçüktür (c<−1c < -1).
Buradan c<ac < a elde edilir.
Negatif değerlerin sıfıra olan uzaklıkları karşılaştırılarak hangisinin daha küçük olduğu bulunur.
4
Tüm değerleri birleştirerek küçükten büyüğe sıralama.
c<a<bc < a < b sıralaması elde edilir.
Elde edilen tüm eşitsizlikler birleştirilerek nihai sıralama oluşturulur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve değerlerinin karşılaştırılması
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru