Examkin

Soru

Zorluk: ZorTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

θ\theta gerçel sayısı için 2π3<θ<3π4\frac{2\pi}{3} < \theta < \frac{3\pi}{4} eşitsizliği verilmiştir. Buna göre, aşağıda tanımlanan aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1c=sin⁡θcos⁡θc = \sin \theta \cos \theta
  2. 2a=sin⁡2θ−cos⁡2θa = \sin^2 \theta - \cos^2 \theta
  3. 3b=1−tan⁡θ1−cot⁡θb = \frac{1 - \tan \theta}{1 - \cot \theta}

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.
Doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir. İkinci bölgede yer alan açı için sinüs pozitif, kosinüs negatiftir. Dolayısıyla çarpımları olan cc ifadesi kesinlikle negatiftir. a=sin⁡2θ−cos⁡2θ=−cos⁡(2θ)a = \sin^2 \theta - \cos^2 \theta = -\cos(2\theta) yarım açı dönüşümüyle pozitif bir değer alır ve en fazla 0.50.5 olabilir. bb ifadesi sadeleştirildiğinde −tan⁡θ-\tan \theta değerine eşit olup, bu aralıkta 11'den büyük bir değer alır. Bu durum sıralamayı doğrular.

Adım Adım Çözüm

1
A��ının bölgesini belirleyip temel trigonometrik fonksiyonların işaretlerini incelemek.
θ∈(2π3,3π4)\theta \in (\frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4}) aralığı derece cinsinden (120∘,135∘)(120^\circ, 135^\circ) aralığına denk gelir ve II. bölgededir. Bu bölgede sin⁡θ>0\sin \theta > 0, cos⁡θ<0\cos \theta < 0, tan⁡θ<0\tan \theta < 0 ve cot⁡θ<0\cot \theta < 0 olur.
Sıralama yapabilmek için öncelikle fonksiyonların bölgelerdeki işaret kurallarını uygulamak gerekir.
2
cc ifadesinin işaretini ve değer aralığını bulmak.
c=sin⁡θcos⁡θc = \sin \theta \cos \theta ifadesinde sin⁡θ>0\sin \theta > 0 ve cos⁡θ<0\cos \theta < 0 olduğundan çarpım negatiftir. Yarım açı formülüyle c=sin⁡(2θ)2c = \frac{\sin(2\theta)}{2} yazılır. 2θ∈(4π3,3π2)2\theta \in (\frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}) yani (240∘,270∘)(240^\circ, 270^\circ) aralığındadır. Bu aralıkta sin⁡(2θ)∈(−1,−32)\sin(2\theta) \in (-1, -\frac{\sqrt{3}}{2}) olduğundan, c∈(−0.5,−34)c \in (-0.5, -\frac{\sqrt{3}}{4}) olur.
cc teriminin sıfırdan küçük olduğunu ve değer sınırlarını netleştirmek sıralamada kesinlik sağlar.
3
aa ifadesini yarım açı formülüyle analiz etmek.
a=sin⁡2θ−cos⁡2θ=−(cos⁡2θ−sin⁡2θ)=−cos⁡(2θ)a = \sin^2 \theta - \cos^2 \theta = -(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = -\cos(2\theta) olur. 2θ∈(240∘,270∘)2\theta \in (240^\circ, 270^\circ) aralığında kosinüs negatiftir ve cos⁡(2θ)∈(−0.5,0)\cos(2\theta) \in (-0.5, 0) aralığındadır. Önündeki eksi işaretiyle birlikte a=−cos⁡(2θ)∈(0,0.5)a = -\cos(2\theta) \in (0, 0.5) olur.
aa ifadesinin pozitif olduğunu ve üst sınırının 0.50.5 olduğunu saptayarak diğer terimlerle karşılaştırma altyapısını kurmak.
4
bb ifadesini özdeşlikler yardımıyla sadeleştirip aralığını bulmak.
b=1−tan⁡θ1−1tan⁡θ=1−tan⁡θtan⁡θ−1tan⁡θ=−tan⁡θb = \frac{1 - \tan \theta}{1 - \frac{1}{\tan \theta}} = \frac{1 - \tan \theta}{\frac{\tan \theta - 1}{\tan \theta}} = -\tan \theta elde edilir. θ∈(120∘,135∘)\theta \in (120^\circ, 135^\circ) aralığında tan⁡θ∈(−3,−1)\tan \theta \in (-\sqrt{3}, -1) olduğundan, b=−tan⁡θ∈(1,3)b = -\tan \theta \in (1, \sqrt{3}) aralığındadır.
bb ifadesinin sadeleşmiş halini bulup sayısal değer sınırlarını diğer ifadelerle kıyaslanabilir hale getirmek.
5
Elde edilen değer aralıklarını karşılaştırarak sıralamayı oluşturmak.
c<0c < 0, 0<a<0.50 < a < 0.5 ve b>1b > 1 aralıkları birleştirildiğinde c<a<bc < a < b sıralaması elde edilir.
Bulunan alt ve üst sınırları sayı doğrusu mantığıyla dizerek nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru