Examkin

Soru

Zorluk: ZorTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere, aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik ifadelerinin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
  1. 1b=sin⁡4x−cos⁡4xsin⁡x−cos⁡xb = \frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\sin x - \cos x}
  2. 2c=tan⁡x+cot⁡xsec⁡x⋅csc⁡xc = \frac{\tan x + \cot x}{\sec x \cdot \csc x}
  3. 3a=1−sin⁡x1+sin⁡x−1+sin⁡x1−sin⁡xa = \sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}} - \sqrt{\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}}

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.
bb ifadesisinin değeri negatif, cc ifadesinin değeri 11 ve aa ifadesinin değeri 22'den büyüktür. Bu durumda küçükten büyüğe doğru doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ifadesinin kareköklü terimlerini ortak paydaya getirerek veya eşlenik kullanarak sadeleştirme.
a=2tan⁡xa = 2\tan x elde edilir. x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığında tan⁡x>1\tan x > 1 olduğundan a>2a > 2 bulunur.
Üçüncü bölgede sin⁡x∈(−1,0)\sin x \in (-1, 0) olduğundan 1−sin⁡x>01 - \sin x > 0 ve 1+sin⁡x>01 + \sin x > 0 olur. Ayrıca cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan kök dışına çıkarılırken işaretlere dikkat edilmelidir.
2
bb ifadesinin payındaki iki kare farkını uygulayarak sadeleştirme yapma.
b=sin⁡x+cos⁡xb = \sin x + \cos x elde edilir. x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığında hem sin⁡x\sin x hem de cos⁡x\cos x negatif olduğundan b<0b < 0 bulunur.
Pay kısmındaki sin⁡4x−cos⁡4x\sin^4 x - \cos^4 x ifadesi (sin⁡2x−cos⁡2x)(sin⁡2x+cos⁡2x)(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) şeklinde çarpanlarına ayrılır. sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 olduğu için pay (sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x) halini alır ve paydadaki terimle sadeleşir.
3
cc ifadesindeki fonksiyonları temel sin⁡x\sin x ve cos⁡x\cos x cinsinden yazarak sadeleştirme.
c=1c = 1 elde edilir.
Paydaki tan⁡x+cot⁡x=1sin⁡xcos⁡x\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x} ve paydadaki sec⁡x⋅csc⁡x=1sin⁡xcos⁡x\sec x \cdot \csc x = \frac{1}{\sin x \cos x} ifadeleri birbirini sadeleştirerek sabit 11 değerini verir.
4
Elde edilen a>2a > 2, b<0b < 0 ve c=1c = 1 değerlerini karşılaştırarak sıralama.
b<c<ab < c < a sıralaması bulunur.
Negatif bir değer (bb) her zaman 11'den (cc) ve 22'den büyük bir değerden (aa) küçüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru