Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri
Grafiği düşey eksene göre simetrik olan bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)=(a−2)x3+2x2+(b+3)x+a⋅bf(x) = (a-2)x^3 + 2x^2 + (b+3)x + a \cdot b
eşitliğini sağlamaktadır.

g(x)=f(x−k)g(x) = f(x - k) biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun grafiği x=3x = 3 doğrusuna göre simetrik olduğuna göre, g(a+b)g(a+b) değeri kaçtır?

  1. A
    -26
  2. B
    2
  3. C
    14
  4. 26Cevap
  5. E
    -14

Cevap

26
Çift fonksiyon tanımından tek dereceli terimlerin katsayıları sıfıra eşitlenerek a=2a=2 ve b=−3b=-3 bulunur. Fonksiyonun kuralı f(x)=2x2−6f(x)=2x^2-6 olur. g(x)=f(x−3)g(x)=f(x-3) fonksiyonunun grafiği x=3x=3 doğrusuna göre simetrik olduğundan öteleme miktarı k=3k=3'tür. g(a+b)=g(−1)=f(−4)g(a+b) = g(-1) = f(-4) değeri, f(−4)=2(−4)2−6=26f(-4)=2(-4)^2-6=26 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ff fonksiyonunun grafiği düşey eksene göre simetrik olduğundan ff çift fonksiyondur. Çift fonksiyonların kuralında tek dereceli terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır.
a−2=0  ⟹  a=2a - 2 = 0 \implies a = 2 ve b+3=0  ⟹  b=−3b + 3 = 0 \implies b = -3 elde edilir.
f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) eşitliğinin her xx için sağlanabilmesi için tek dereceli terimler bulunmamalıdır.
2
aa ve bb değerlerini yerine yazarak f(x)f(x) fonksiyonunun kuralını belirleyelim.
f(x)=2x2+2⋅(−3)=2x2−6f(x) = 2x^2 + 2 \cdot (-3) = 2x^2 - 6 olur.
Fonksiyonun tam kuralını bulup sonraki adımlarda kullanmak için.
3
g(x)=f(x−k)g(x) = f(x - k) fonksiyonunun simetri ekseninden yararlanarak kk değerini bulalım.
f(x)f(x) grafiği x=0x = 0 doğrusuna göre simetrik olduğundan, f(x−k)f(x-k) grafiği x=kx = k doğrusuna göre simetriktir. Buradan k=3k = 3 bulunur.
Grafiğin yatay olarak sağa ötelenmesi durumunda simetri ekseninin de aynı miktarda kayacağını kullanmak için.
4
g(a+b)g(a+b) ifadesinde aa ve bb değerlerini yerleştirelim.
a+b=2+(−3)=−1a+b = 2 + (-3) = -1 olduğundan, g(−1)=f(−1−3)=f(−4)g(-1) = f(-1-3) = f(-4) elde edilir.
İstenen fonksiyon değerini ff fonksiyonu cinsinden ifade etmek için.
5
f(x)f(x) kuralında x=−4x = -4 yazarak nihai sonucu hesaplayalım.
f(−4)=2(−4)2−6=32−6=26f(-4) = 2(-4)^2 - 6 = 32 - 6 = 26 bulunur.
Çift fonksiyon özelliğiyle f(−4)=f(4)=26f(-4) = f(4) = 26 değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri

Bu konudan daha fazla soru