Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSinüs Teoremi

Bir çemberin üzerine sırasıyla AA, BB, CC ve DD noktaları işaretlenerek bir ABCDABCD kirişler dörtgeni oluşturuluyor. Bu dörtgende,
* ∣AB∣=6 cm|AB| = 6\text{ cm}
* ∣CD∣=8 cm|CD| = 8\text{ cm}
* m(ACB^)=αm(\widehat{ACB}) = \alpha
* m(CAD^)=βm(\widehat{CAD}) = \beta

α+β=90∘\alpha + \beta = 90^\circ olduğuna göre, bu çemberin yarıçapı kaç cm'dir?

  1. A
    1010
  2. B
    77
  3. 55Cevap
  4. D
    125\frac{12}{5}
  5. E
    52\frac{5}{2}

Cevap

Çemberin yar��çapı 55 cm'dir.
Çember üzerine çizilen kirişler dörtgeninde ABCABC ve ACDACD üçgenlerinin çevrel çemberi aynı çemberdir. Sinüs Teoremi yardımıyla sin⁡α=3R\sin \alpha = \frac{3}{R} ve sin⁡β=4R\sin \beta = \frac{4}{R} bağıntıları kurulur. α+β=90∘\alpha + \beta = 90^\circ olduğundan sin⁡β=cos⁡α=4R\sin \beta = \cos \alpha = \frac{4}{R} yazılabilir. sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 temel özdeşliği kullanıldığında 9R2+16R2=1  ⟹  R=5\frac{9}{R^2} + \frac{16}{R^2} = 1 \implies R = 5 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Çemberin yarıçapını RR kabul ederek, ABCABC ve ACDACD üçgenlerinde Sinüs Teoremi'ni uygulayalım.
ABCABC ��çgeninde ABAB kenarı için: ∣AB∣sin⁡α=2R  ⟹  sin⁡α=62R=3R\frac{|AB|}{\sin \alpha} = 2R \implies \sin \alpha = \frac{6}{2R} = \frac{3}{R}
ACDACD üçgeninde CDCD kenarı için: ∣CD∣sin⁡β=2R  ⟹  sin⁡β=82R=4R\frac{|CD|}{\sin \beta} = 2R \implies \sin \beta = \frac{8}{2R} = \frac{4}{R} elde edilir.
Sinüs Teoremi gereği, bir üçgenin kenar uzunluğunun karşı açısının sinüsüne oranı, o üçgenin çevrel çemberinin çapına (2R2R) eşittir.
2
α+β=90∘\alpha + \beta = 90^\circ bilgisini kullanarak sin⁡β\sin \beta ifadesini α\alpha açısının kosinüsü cinsinden yazalım.
sin⁡β=sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\sin \beta = \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha olur. Buradan cos⁡α=4R\cos \alpha = \frac{4}{R} elde edilir.
Toplamları 90∘90^\circ olan iki açıdan birinin sinüsü, diğerinin kosinüsüne eşittir.
3
sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 temel trigonometrik özdeşliğini uygulayarak RR değerini bulalım.
(3R)2+(4R)2=1  ⟹  9R2+16R2=1  ⟹  25R2=1  ⟹  R2=25  ⟹  R=5\left(\frac{3}{R}\right)^2 + \left(\frac{4}{R}\right)^2 = 1 \implies \frac{9}{R^2} + \frac{16}{R^2} = 1 \implies \frac{25}{R^2} = 1 \implies R^2 = 25 \implies R = 5 cm bulunur.
Aynı açının sinüs ve kosinüs değerlerinin kareleri toplamı daima 1'e eşittir.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve Çevrel Çember İlişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Sinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru