Examkin

Soru

Zorluk: ZorKombinasyon
A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}

kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinin en büyük elemanı ile en küçük elemanının toplamı bir çift sayıdır?

Cevap: 100

Cevap

Koşulları sağlayan 4 elemanlı alt kümelerin sayısı 100'dür.
Koşulları sağlayan alt kümelerin bulunması için tüm olası en küçük ve en büyük eleman çiftleri farklarına göre sınıflandırılmış ve aralarında kalan sayılardan yapılan kombinasyon seçimleri toplanarak 100 sonucu elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
En küçük ve en büyük elemanların belirlenmesi ve çift toplam koşulunun analiz edilmesi.
En küçük eleman x1x_1, en büyük eleman x4x_4 olmak üzere, x1+x4x_1 + x_4 toplamının çift olması için x4−x1x_4 - x_1 farkının çift olması gerektiği belirlenir.
İki sayının toplamının çift olması için paritelerinin (teklik-çiftlik durumlarının) aynı olması gerekir.
2
Alt kümedeki eleman sayısı sınırlamasına göre en büyük ve en küçük elemanlar arasındaki farkın sınırlarının belirlenmesi.
Arada en az 2 eleman bulunması gerektiğinden x4−x1≥3x_4 - x_1 \geq 3 olmalıdır. Bu durumda çift farklar 4,64, 6 ve 88 olarak belirlenir.
Küçükten büyüğe sıralı 4 elemanlı kümede x1<x2<x3<x4x_1 < x_2 < x_3 < x_4 eşitsizliğinden dolayı x4−x1≥3x_4 - x_1 \geq 3 olmalıdır.
3
Farkın 4 olduğu durum için alt küme sayısının hesaplanması.
x4−x1=4x_4 - x_1 = 4 için 6 farklı (x1,x4)(x_1, x_4) ikilisi ve her biri için (32)=3\binom{3}{2} = 3 seçim olmak üzere 6×3=186 \times 3 = 18 durum bulunur.
Seçilen uç noktaların arasında kalan 3 tam sayıdan 2'sinin seçilmesi gerekir.
4
Farkın 6 olduğu durum için alt küme sayısının hesaplanması.
x4−x1=6x_4 - x_1 = 6 için 4 farklı (x1,x4)(x_1, x_4) ikilisi ve her biri için (52)=10\binom{5}{2} = 10 seçim olmak üzere 4×10=404 \times 10 = 40 durum bulunur.
Seçilen uç noktaların arasında kalan 5 tam sayıdan 2'sinin seçilmesi gerekir.
5
Farkın 8 olduğu durum için alt küme sayısının hesaplanması.
x4−x1=8x_4 - x_1 = 8 için 2 farklı (x1,x4)(x_1, x_4) ikilisi ve her biri için (72)=21\binom{7}{2} = 21 seçim olmak üzere 2×21=422 \times 21 = 42 durum bulunur.
Seçilen uç noktaların arasında kalan 7 tam sayıdan 2'sinin seçilmesi gerekir.
6
Tüm durumların toplanması.
Toplam alt küme sayısı 18+40+42=10018 + 40 + 42 = 100 olarak hesaplanır.
Ayrık durumların toplamı, toplam seçim sayısını verir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) ve Koşullu Alt Küme Oluşturma

Alternatif Yöntem

Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak da çözüme ulaşabiliriz. 10 elemanlı bir kümenin 4 elemanlı toplam alt küme sayısı (104)=210\binom{10}{4} = 210 tanedir. İstenmeyen durum, en büyük ve en küçük elemanın toplamının tek sayı olmasıdır. Bu durum, x4−x1x_4 - x_1 farkının tek sayı olması anlamına gelir. x4−x1≥3x_4 - x_1 \geq 3 olacağına göre fark 3,5,73, 5, 7 veya 99 olabilir. Bu farklar için olası durumlar hesaplanır:
- Fark 3 ise: 7 ikili ve (22)=1\binom{2}{2} = 1 seçimden 7×1=77 \times 1 = 7 durum.
- Fark 5 ise: 5 ikili ve (42)=6\binom{4}{2} = 6 seçimden 5×6=305 \times 6 = 30 durum.
- Fark 7 ise: 3 ikili ve (62)=15\binom{6}{2} = 15 seçimden 3×15=453 \times 15 = 45 durum.
- Fark 9 ise: 1 ikili ve (82)=28\binom{8}{2} = 28 seçimden 1×28=281 \times 28 = 28 durum.
İstenmeyen toplam durum sayısı 7+30+45+28=1107 + 30 + 45 + 28 = 110 olur. İstenen durum sayısı ise 210−110=100210 - 110 = 100 olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kombinasyon

Bu konudan daha fazla soru