Azalan bir f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} fonksiyonu yardımıyla g(x) = f(x^2 - 6x + 8) fonks… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Azalan bir

f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}

fonksiyonu yardımıyla

g(x) = f(x^2 - 6x + 8)

fonksiyonu tanımlanıyor.

$g$ fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık $(-\infty, a]$ olduğuna göre, $a$ değeri kaçtır?

Cevap: 3

Cevap

Doğru cevap 3'tür. Azalan bir fonksiyon altında bileşke fonksiyonun artan olabilmesi için içteki fonksiyonun azalan olması gerekir. Buna göre x^2 - 6x + 8 parabolü tepe noktası olan x = 3'ün solunda, yani (-∞, 3] aralığında azalandır. Bu nedenle g fonksiyonu bu aralıkta artan olur ve a = 3 bulunur.

g(x) = f(x^2 - 6x + 8) fonksiyonunun artan olması için içteki u(x) = x^2 - 6x + 8 fonksiyonunun azalan olması gerekir (çünkü f azalandır). u(x) parabolünün tepe noktası apsisi 3 olduğundan, bu parabolün azalan olduğu en geniş aralık (-∞, 3] aralığıdır. Buradan a = 3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

Bileşke fonksiyonun artanlık koşulunu analiz etmek.

g(x) = f(x^2 - 6x + 8) fonksiyonunun artan olması için u(x) = x^2 - 6x + 8 fonksiyonunun azalan olması gerekir.

f fonksiyonu azalan olduğundan, girdiler küçüldükçe çıktılar büyür. Bu yüzden, x arttıkça g(x) değerlerinin artması için girdisi olan u(x) değerlerinin azalması gerekir.

İçteki u(x) = x^2 - 6x + 8 fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralığı bulmak.

u(x) parabolünün azalan olduğu en geniş aralık (-∞, 3] aralığıdır.

Kolları yukarı doğru olan bir parabolün azalan olduğu bölge, tepe noktasının sol tarafıdır. Bu parabolün tepe noktasının apsisi r = -b/(2a) = -(-6)/(2*1) = 3 olduğundan, azalan olduğu en geniş aralık (-∞, 3] olur.

a değerini tespit etmek.

a = 3 bulunur.

g fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık (-∞, 3] olarak elde edilir. Soruda bu aralık (-∞, a] olarak verildiğinden a = 3'tür.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonlarda Artanlık ve Azalanlık

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru