Examkin

Soru

Zorluk: ZorTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x+1x−1f(x) = \frac{x+1}{x-1}
fonksiyonunun x=2x = 2 apsisli noktasındaki normal doğrusu,
g(x)=14x2−kx+3g(x) = \frac{1}{4}x^2 - kx + 3
parabolüne teğettir.

Buna göre, kk gerçel sayısın��n alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    −4-4
  2. B
    −34-\frac{3}{4}
  3. −1-1Cevap
  4. D
    11
  5. E
    22

Cevap

−1-1 değeri doğrudur.
Normal doğrusunun denklemi y=12x+2y = \frac{1}{2}x + 2 olarak elde edilir. Bu doğrunun g(x)=14x2−kx+3g(x) = \frac{1}{4}x^2 - kx + 3 parabolü ile teğet olması, ortak çözüm denklemi olan x2−(4k+2)x+4=0x^2 - (4k+2)x + 4 = 0 ifadesinin diskriminantının sıfır olmasını gerektirir. Buradan elde edilen k=12k = \frac{1}{2} ve k=−32k = -\frac{3}{2} değerlerinin toplamı −1-1 olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyon üzerindeki teğet ve normal noktasının koordinatlarını bulma.
x=2x = 2 için f(2)=2+12−1=3f(2) = \frac{2+1}{2-1} = 3 bulunur. Dolayısıyla normal doğrusunun geçtiği nokta P(2,3)P(2, 3) koordinatlarına sahiptir.
Normal doğrusunun denklemini yazabilmek için geçtiği noktayı belirlememiz gerekir.
2
Türev yard��mıyla teğet ve normal doğrularının eğimlerini hesaplama.
f′(x)=1⋅(x−1)−(x+1)⋅1(x−1)2=−2(x−1)2f'(x) = \frac{1 \cdot (x-1) - (x+1) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2} olarak bulunur. x=2x=2 yaz��ldığında teğet eğimi mt=f′(2)=−2m_t = f'(2) = -2 olur. Teğet ile normal birbirine dik olduğundan normal eğimi mn=−1mt=12m_n = \frac{-1}{m_t} = \frac{1}{2} elde edilir.
Bir eğriye bir noktadan çizilen teğetin eğimi o noktadaki türev değerine eşittir; normal doğrusunun eğimi ise teğet eğimiyle çarpımı −1-1 olacak şekilde bulunur.
3
Normal doğrusunun denklemini oluşturma.
Eğimi mn=12m_n = \frac{1}{2} olan ve P(2,3)P(2, 3) noktasından geçen doğrunun denklemi: y−3=12(x−2)⇒y=12x+2y - 3 = \frac{1}{2}(x - 2) \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + 2 olarak elde edilir.
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü kullanılarak normal doğrusunun denklemi bulunur.
4
Normal doğrusunun parabole teğetlik şartını uygulama.
Normal doğrusu ile g(x)=14x2−kx+3g(x) = \frac{1}{4}x^2 - kx + 3 parabolü teğet olduğundan ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır:
14x2−kx+3=12x+2⇒14x2−(k+12)x+1=0\frac{1}{4}x^2 - kx + 3 = \frac{1}{2}x + 2 \Rightarrow \frac{1}{4}x^2 - \left(k + \frac{1}{2}\right)x + 1 = 0
Denklemi 44 ile genişlettiğimizde:
x2−(4k+2)x+4=0x^2 - (4k + 2)x + 4 = 0
Teğetlik şartı için Δ=0\Delta = 0 olmalıdır:
Δ=[−(4k+2)]2−4⋅1⋅4=0⇒(4k+2)2=16\Delta = [-(4k + 2)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0 \Rightarrow (4k + 2)^2 = 16
Buradan:
4k+2=4⇒k=124k + 2 = 4 \Rightarrow k = \frac{1}{2}
veya
4k+2=−4⇒k=−324k + 2 = -4 \Rightarrow k = -\frac{3}{2}
değerleri bulunur.
Bir doğru ile bir parabolün birbirine teğet olması, ortak kesim denkleminin çift katlı köke sahip olmasını, yani diskriminantının sıfıra eşit olmasını gerektirir.
5
kk değerlerinin toplamını hesaplama.
Alınabilecek değerlerin toplamı: 12+(−32)=−1\frac{1}{2} + \left(-\frac{3}{2}\right) = -1 olarak bulunur.
Soruda kk sayısının alabileceği tüm gerçel değerlerin toplamı istendiği için hesaplama tamamlanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine belirli bir noktadan çizilen normal doğrusunun denklemini yazma ve bu doğrunun bir parabole teğet olması durumunu ortak çözüm denkleminin diskriminantı yardımıyla analiz etme.
Bu soruyu puanla

Konular

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Bu konudan daha fazla soru