Examkin

Soru

Zorluk: ZorTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)
Dik koordinat düzleminde, aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere,
f(x)=x3−3ax2+bx+1f(x) = x^3 - 3ax^2 + bx + 1
eğrisinin x=1x = 1 ve x=3x = 3 apsisli noktalarındaki teğetleri birbirine paraleldir.

Bu paralel doğrular arasındaki uzaklık 455\frac{4\sqrt{5}}{5} birim olduğuna göre, bb gerçel sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

  1. A
    5
  2. B
    6
  3. 7Cevap
  4. D
    9
  5. E
    11

Cevap

b gerçel sayısının alabileceği en küçük değer 7'dir.
Teğetlerin paralel olması eğimlerinin (türevlerinin) eşit olmasını gerektirir. Bu eşitlikten a=2a = 2 bulunur. Daha sonra teğet noktaları belirlenerek iki teğet doğrusunun denklemleri genel formda yazılır. Paralel doğrular arasındaki uzaklık formülü kullanılarak elde edilen denklem çözüldüğünde bb için 77 ve 1111 değerleri bulunur. En küçük değer sorulduğundan doğru yanıt 77 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınır ve teğetlerin paralel olma koşulu kurulur.
f′(x)=3x2−6ax+bf'(x) = 3x^2 - 6ax + b elde edilir. Teğetler paralel olduğundan eğimleri eşittir, yani f′(1)=f′(3)f'(1) = f'(3) olur.
Bir eğrinin üzerindeki noktalardan çizilen teğetlerin eğimleri, o noktalardaki türev değerlerine eşittir.
2
f′(1)=f′(3)f'(1) = f'(3) eşitli��i çözülerek aa parametresi bulunur.
3(1)2−6a(1)+b=3(3)2−6a(3)+b  ⟹  3−6a=27−18a  ⟹  12a=24  ⟹  a=23(1)^2 - 6a(1) + b = 3(3)^2 - 6a(3) + b \implies 3 - 6a = 27 - 18a \implies 12a = 24 \implies a = 2 bulunur.
Teğetlerin eğim eşitliğinden bilinmeyen parametrelerden biri belirlenir.
3
a=2a = 2 değeri yerine yazılarak teğet doğrularının denklemleri oluşturulur.
Eğim m=f′(1)=b−9m = f'(1) = b - 9 olur. x=1x = 1 için teğet noktası (1,f(1))=(1,b−4)(1, f(1)) = (1, b-4)'tür. Teğet denklemi: y−(b−4)=(b−9)(x−1)  ⟹  (b−9)x−y+5=0y - (b-4) = (b-9)(x-1) \implies (b-9)x - y + 5 = 0 olur. x=3x = 3 için teğet noktası (3,f(3))=(3,3b−26)(3, f(3)) = (3, 3b-26)'dır. Teğet denklemi: y−(3b−26)=(b−9)(x−3)  ⟹  (b−9)x−y+1=0y - (3b-26) = (b-9)(x-3) \implies (b-9)x - y + 1 = 0 olur.
Paralel doğrular arasındaki uzaklık formülünü kullanabilmek için her iki doğrunun genel denklemi yazılır.
4
Paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülü uygulanarak bb değerleri bulunur ve en küçüğü seçilir.
d=∣5−1∣(b−9)2+(−1)2=4(b−9)2+1=45  ⟹  (b−9)2+1=5  ⟹  (b−9)2=4  ⟹  b−9=±2d = \frac{|5 - 1|}{\sqrt{(b-9)^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{(b-9)^2 + 1}} = \frac{4}{\sqrt{5}} \implies (b-9)^2 + 1 = 5 \implies (b-9)^2 = 4 \implies b - 9 = \pm 2 olur. Buradan b=11b = 11 veya b=7b = 7 bulunur. En küçük değer 77 olur.
Verilen uzaklık değeri kullanılarak bb parametresinin alabileceği değerler hesaplanır.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu kullanılarak teğet doğrularının eğimlerinin bulunması ve analitik geometrideki paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülüyle ilişkilendirilmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Bu konudan daha fazla soru