Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKosinüs Teoremi

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=3|AB| = 3 birim, ∣BC∣=5|BC| = 5 birim ve ∣AC∣=7|AC| = 7 birimdir. BCBC doğrusu üzerinde, CC noktası BB ile DD arasında kalacak şekilde bir DD noktası alınıyor.

∣AD∣=97|AD| = \sqrt{97} birim olduğuna göre, ∣CD∣|CD| uzunluğu kaç birimdir?

  1. A
    8
  2. B
    6
  3. 3Cevap
  4. D
    5
  5. E
    16

Cevap

Doğru yanıt 3 birimdir.
Kosinüs Teoremi'nin iki farklı üçgende ardışık olarak doğru işaretlerle uygulanmasıyla elde edilen ikinci dereceden denklem çözüldüğünde pozitif kök 3 birim olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninde CC açısına göre Kosinüs Teoremi yazılır.
∣AB∣2=∣AC∣2+∣BC∣2−2⋅∣AC∣⋅∣BC∣⋅cos⁡(ACB^)|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |BC| \cdot \cos(\widehat{ACB}) formülü oluşturulur.
CC açısının kosinüs değerini bularak bütünler açısının kosinüsüne geçiş yapmak.
2
Verilen uzunluklar formülde yerine koyulur.
32=72+52−2⋅7⋅5⋅cos⁡(ACB^)  ⟹  9=74−70cos⁡(ACB^)  ⟹  cos⁡(ACB^)=13143^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos(\widehat{ACB}) \implies 9 = 74 - 70 \cos(\widehat{ACB}) \implies \cos(\widehat{ACB}) = \frac{13}{14} bulunur.
CC açısının kosinüs değerini hesaplamak.
3
B,C,DB, C, D noktaları doğrusal olduğundan, ACB^\widehat{ACB} ile ACD^\widehat{ACD} açılarının bütünler olduğu belirlenir ve cos⁡(ACD^)\cos(\widehat{ACD}) değeri yazılır.
cos⁡(ACD^)=−cos⁡(ACB^)=−1314\cos(\widehat{ACD}) = -\cos(\widehat{ACB}) = -\frac{13}{14} elde edilir.
Bütünler açıların kosinüslerinin zıt işaretli olmasından faydalanarak yan taraftaki üçgende Kosinüs Teoremi'ni kullanıma hazırlamak.
4
ACDACD üçgeninde ∣CD∣=x|CD| = x kabul edilerek Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AD∣2=∣AC∣2+x2−2⋅∣AC∣⋅x⋅cos⁡(ACD^)  ⟹  97=49+x2−2⋅7⋅x⋅(−1314)  ⟹  97=49+x2+13x|AD|^2 = |AC|^2 + x^2 - 2 \cdot |AC| \cdot x \cdot \cos(\widehat{ACD}) \implies 97 = 49 + x^2 - 2 \cdot 7 \cdot x \cdot \left(-\frac{13}{14}\right) \implies 97 = 49 + x^2 + 13x denklemi elde edilir.
xx değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem elde etmek.
5
Elde edilen x2+13x−48=0x^2 + 13x - 48 = 0 denklemi çözülür.
(x+16)(x−3)=0  ⟹  x=3(x + 16)(x - 3) = 0 \implies x = 3 veya x=−16x = -16 bulunur. Uzunluk negatif olamayacağından x=3x = 3 birimdir.
CDCD uzunluğunu kesin olarak bulmak.

Anahtar Kavram

Bütünler açıların kosinüs değerleri arasındaki zıt işaret ilişkisi ve Kosinüs Teoremi'nin ardışık olarak uygulanması.

Alternatif Yöntem

ABCABC üçgeninde BB açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanarak cos⁡(B^)=−1/2\cos(\widehat{B}) = -1/2 bulunur. Buradan ABDABD üçgeninde ∣BD∣=5+x|BD| = 5+x yazılarak Kosinüs Teoremi tekrar uygulanır ve x=3x = 3 elde edilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kosinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru