Dik koordinat düzleminde, f(x) = x^3 - 3x eğrisine x = a ve x = b (a \neq b) apsisli nokta… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = x^3 - 3x$ eğrisine $x = a$ ve $x = b$ ( $a \neq b$ ) apsisli noktalarından çizilen teğet doğruları birbirine paraleldir. Bu paralel doğrular arasındaki uzaklık $2\sqrt{5}$ birim olduğuna göre, $4 \cdot a \cdot b$ ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: -5

Cevap

Doğru cevap -5'tir.

Türev fonksiyonu yardımıyla teğetlerin paralel olma koşulu kullanılarak teğet noktalarının apsisleri arasında b = -a ilişkisi bulunmuştur. Bu noktalar üzerinden çizilen teğet doğrularının genel denklemleri oluşturulmuş ve paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülü uygulanarak a^2 = 5/4 değerine ulaşılmıştır. Buradan, a * b = -5/4 ve 4 * a * b = -5 sonucu elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

Teğet doğrularının paralel olmasından yararlanarak a ve b arasındaki bağıntıyı bulun.

f'(x) = 3x^2 - 3

e��rinin türev fonksiyonudur.

x = a

x = b

noktalarındaki teğet doğruları paralel olduğundan eğimleri eşittir:

f'(a) = f'(b) \Rightarrow 3a^2 - 3 = 3b^2 - 3 \Rightarrow a^2 = b^2

. Soruda

a \neq b

verildiği için

b = -a

olmalıdır.

Paralel teğet doğrularının eğimleri birbirine eşittir.

Teğet doğrularının denklemlerini genel formda yazın.

x = a

noktasındaki teğet doğrusunun eğimi

m = 3a^2 - 3

ve geçtiği nokta

(a, a^3 - 3a)

'dır. Doğru denklemi:

y - (a^3 - 3a) = (3a^2 - 3)(x - a) \Rightarrow (3a^2 - 3)x - y - 2a^3 = 0

olarak elde edilir. Benzer şekilde,

x = -a

noktasındaki teğet doğrusunun denklemi de

(3a^2 - 3)x - y + 2a^3 = 0

olur.

Doğrular arasındaki uzaklık formülünü uygulayabilmek için doğru denklemlerinin genel formda yazılması gerekir.

Paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülünü kullanarak a değerini hesaplayın.

İki paralel doğru arasındaki uzaklık

d = \frac{|2a^3 - (-2a^3)|}{\sqrt{(3a^2 - 3)^2 + (-1)^2}} = \frac{4|a|^3}{\sqrt{9a^4 - 18a^2 + 10}}

formülü ile bulunur. Bu uzaklık

2\sqrt{5}

birim olarak verilmiştir. Her iki tarafın karesi alınarak düzenleme yapıldığında:

\frac{16a^6}{9a^4 - 18a^2 + 10} = 20 \Rightarrow 4a^6 - 45a^4 + 90a^2 - 50 = 0

denklemi elde edilir.

u = a^2

dönüşümü ile

4u^3 - 45u^2 + 90u - 50 = 0

kübik denklemi yazılır. Denklemin köklerinden biri

u = \frac{5}{4}

olarak bulunur.

Teğet noktalarının apsislerinin karesini belirlemek.

İstenen 4 * a * b ifadesini hesaplayın.

a^2 = \frac{5}{4}

b = -a

olduğundan,

a \cdot b = -a^2 = -\frac{5}{4}

bulunur. Buradan

4 \cdot a \cdot b = 4 \cdot \left(-\frac{5}{4}\right) = -5

elde edilir.

Soru kökündeki ifadenin sayısal değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumunda teğet doğrusunun denkleminin yazılması, paralel teğetlerin eğim eşitliği ve analitik düzlemde paralel doğrular arasındaki uzaklık bağıntısı.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru