Examkin

Soru

Zorluk: ZorTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(3π2,7π4)x \in \left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=1+2sin⁡xcos⁡x+sin⁡xa = \sqrt{1 + 2\sin x \cos x} + \sin x
b=sin⁡4x−cos⁡4xsin⁡x+cos⁡xb = \frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\sin x + \cos x}
c=tan⁡x+cot⁡xc = \tan x + \cot x

ifadeleri veriliyor. Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

  1. c<b<ac < b < aCevap
  2. B
    b<c<ab < c < a
  3. C
    b<a<cb < a < c
  4. D
    c<a<bc < a < b
  5. E
    a<b<ca < b < c

Cevap

c<b<ac < b < a sıralaması doğrudur.
Verilen aralıkta sin⁡x+cos⁡x<0\sin x + \cos x < 0 olduğundan aa ifadesi mutlak değer dışına −(sin⁡x+cos⁡x)-(\sin x + \cos x) olarak çıkar ve −cos⁡x-\cos x değerine sadeleşir. bb ifadesi iki kare farkı yardımıyla sadeleştirildiğinde sin⁡x−cos⁡x\sin x - \cos x olur. c=tan⁡x+cot⁡xc = \tan x + \cot x ifadesinin değeri ise dördüncü bölgede −2-2 değerinden küçüktür. Bu durumda elde edilen aralıklar sırasıyla c<−2c < -2, −1.414<b<−1-1.414 < b < -1 ve −0.707<a<0-0.707 < a < 0 şeklinde olduğundan, doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
x∈(3π2,7π4)x \in \left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}\right) aralığına göre sin⁡x\sin x ve cos⁡x\cos x fonksiyonlarının işaretlerini belirleme ve aa ifadesini sadeleştirme.
Bu aralıkta sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x>0\cos x > 0 ve ∣sin⁡x∣>cos⁡x|\sin x| > \cos x olduğundan sin⁡x+cos⁡x<0\sin x + \cos x < 0 olur. a=(sin⁡x+cos⁡x)2+sin⁡x=∣sin⁡x+cos⁡x∣+sin⁡x=−(sin⁡x+cos⁡x)+sin⁡x=−cos⁡xa = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} + \sin x = |\sin x + \cos x| + \sin x = -(\sin x + \cos x) + \sin x = -\cos x elde edilir. cos⁡x∈(0,22)\cos x \in \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) olduğundan a∈(−22,0)a \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right) aralığındadır.
Kareköklü ifadenin mutlak değer dışına doğru işaretle çıkarılması ve ifadenin sınırlarının belirlenmesi için gereklidir.
2
bb ifadesini iki kare farkı özdeşliğini kullanarak sadeleştirme ve sınırlarını belirleme.
b=(sin⁡2x−cos⁡2x)(sin⁡2x+cos⁡2x)sin⁡x+cos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)⋅1sin⁡x+cos⁡x=sin⁡x−cos⁡xb = \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin x + \cos x} = \frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x) \cdot 1}{\sin x + \cos x} = \sin x - \cos x elde edilir. Verilen aralıkta sin⁡x∈(−1,−22)\sin x \in \left(-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) ve −cos⁡x∈(−22,0)-\cos x \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right) olduğundan, bu iki değer toplandığında b=sin⁡x−cos⁡x∈(−2,−1)b = \sin x - \cos x \in (-\sqrt{2}, -1) aralığında yer alır.
İfadenin sade hali üzerinden büyüklük karşılaştırması yapabilmek için gereklidir.
3
cc ifadesini tanjant ve kotanjantın özelliklerini kullanarak analiz etme.
c=tan⁡x+cot⁡xc = \tan x + \cot x ifadesinde, x∈(3π2,7π4)x \in \left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}\right) için tan⁡x<−1\tan x < -1 ve cot⁡x∈(−1,0)\cot x \in (-1, 0) olur. u=∣tan⁡x∣>1u = |\tan x| > 1 dersek, c=−(u+1u)c = -\left(u + \frac{1}{u}\right) yazılabilir. Her u>1u > 1 için u+1u>2u + \frac{1}{u} > 2 olduğundan, c<−2c < -2 elde edilir.
cc ifadesinin alabileceği değerlerin üst sınırını belirlemek için gereklidir.
4
Elde edilen aa, bb ve cc aralıklarını karşılaştırarak nihai sıralamayı bulma.
c<−2c < -2, b∈(−2,−1)b \in (-\sqrt{2}, -1) ve a∈(−22,0)a \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right) olduğundan, aralıklar kesişmez ve doğrudan c<b<ac < b < a sıralaması elde edilir.
Her üç ifadenin de sayı doğrusundaki konumlarını netleştirip sıralamayı tamamlamak için gereklidir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşliklerin sadeleştirilmesi, bölgelere göre işaret tespiti ve trigonometrik değerlerin sıralanması.

Alternatif Yöntem

Sıralamayı daha rahat görebilmek için verilen aralıktan özel bir açı seçilebilir. Örneğin x=300∘x = 300^\circ (x=5π3x = \frac{5\pi}{3}) için değerler hesaplanırsa: a=1+2sin⁡300∘cos⁡300∘+sin⁡300∘=∣sin⁡300∘+cos⁡300∘∣+sin⁡300∘=∣−32+12∣−32=−(−32+12)−32=−12=−0.5a = \sqrt{1 + 2\sin 300^\circ \cos 300^\circ} + \sin 300^\circ = |\sin 300^\circ + \cos 300^\circ| + \sin 300^\circ = |-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}| - \frac{\sqrt{3}}{2} = -(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} = -0.5. b=sin⁡300∘−cos⁡300∘=−32−12≈−0.866−0.5=−1.366b = \sin 300^\circ - \cos 300^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \approx -0.866 - 0.5 = -1.366. c=tan⁡300∘+cot⁡300∘=−3−13≈−1.732−0.577=−2.309c = \tan 300^\circ + \cot 300^\circ = -\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} \approx -1.732 - 0.577 = -2.309. Bu değerler karşılaştırıldığında −2.309<−1.366<−0.5-2.309 < -1.366 < -0.5 olduğu için c<b<ac < b < a sıralaması kolayca doğrulanabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru