Examkin

Soru

Zorluk: ZorTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)
Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−x2−2xf(x) = x^3 - x^2 - 2x eğrisine x=1x = 1 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu, bu eğriyi başka bir AA noktasında kesmektedir. Buna göre, AA noktasından f(x)f(x) eğrisine çizilen normal doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
  1. A
    −133-\frac{13}{3}
  2. B
    −3-3
  3. −13-\frac{1}{3}Cevap
  4. D
    13\frac{1}{3}
  5. E
    33

Cevap

Normal doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı −13-\frac{1}{3} olarak bulunur.
Doğru cevap olan −13-\frac{1}{3} değeri, belirtilen noktadan çizilen teğet doğrusu ile eğrinin ortak çözümü yapılarak kesim noktası olan koordinat düzlemindeki diğer noktanın bulunması ve ardından bu noktadaki normal doğrusunun eğimi kullanılarak yazılan normal denklemi yardımıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet noktasındaki fonksiyon değerini ve türevini (teğet eğimini) bulunuz.
f(1)=−2f(1) = -2 ve f′(1)=−1f'(1) = -1 bulunur.
x=1x=1 apsisli noktadaki teğet doğrusunun denklemini yazmak için eğim ve geçtiği nokta gereklidir.
2
x=1x=1 noktasındaki teğet doğrusunun denklemini yazınız.
y−(−2)=−1(x−1)  ⟹  y=−x−1y - (-2) = -1(x-1) \implies y = -x - 1 doğrusu elde edilir.
Teğetin denklemi y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) formülüyle bulunur.
3
Teğet doğrusu ile f(x)f(x) eğrisinin kesişim noktalarını bulmak için ortak çözüm yapınız.
x3−x2−2x=−x−1  ⟹  (x−1)2(x+1)=0x^3 - x^2 - 2x = -x - 1 \implies (x-1)^2(x+1) = 0 denkleminden diğer kesişim noktası x=−1x = -1 apsisli A(−1,0)A(-1, 0) noktası olarak bulunur.
Teğet doğrusunun eğriyi kestiği diğer noktayı bulmak için iki denklem birbirine eşitlenir.
4
A(−1,0)A(-1, 0) noktasındaki teğet ve normal doğrularının eğimlerini hesaplayınız.
f′(−1)=3f'(-1) = 3 olduğundan AA noktasındaki teğet eğimi mT=3m_T = 3 ve normal doğrusunun eğimi mN=−13m_N = -\frac{1}{3} olur.
Bir noktadaki normal doğrusunun eğimi, o noktadaki teğet doğrusunun eğimiyle çarpımı −1-1 olacak şekilde mN=−1mTm_N = -\frac{1}{m_T} formülüyle bulunur.
5
A(−1,0)A(-1, 0) noktasındaki normal doğrusunun denklemini yazıp yy eksenini kestiği noktayı bulunuz.
y−0=−13(x−(−1))  ⟹  y=−13x−13y - 0 = -\frac{1}{3}(x - (-1)) \implies y = -\frac{1}{3}x - \frac{1}{3} doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı −13-\frac{1}{3} olarak elde edilir.
yy eksenini kestiği noktayı bulmak için normal doğrusunun denkleminde x=0x = 0 yazılır.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi, o noktadaki teğet doğrusunun eğiminin negatif tersidir (mT⋅mN=−1m_T \cdot m_N = -1). Ayrıca teğet doğrusu ile eğrinin diğer kesim noktaları ortak çözüm yapılarak bulunur.
Bu soruyu puanla

Konular

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Bu konudan daha fazla soru