Examkin

Soru

Zorluk: ZorTek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri
Her xx gerçel sayısı için
f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)
g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x)
eşitlikleri sağlanmaktadır.
f(x)+x⋅g(x)=3x2+(a−2)x+a+bf(x) + x \cdot g(x) = 3x^2 + (a - 2)x + a + b
g(x)−x⋅f(x)=x3+(b−6)x2−4xg(x) - x \cdot f(x) = x^3 + (b - 6)x^2 - 4x

olduğuna göre, f(a)+g(b)f(a) + g(b) toplamının değeri kaçtır?

  1. 28Cevap
  2. B
    36
  3. C
    -20
  4. D
    8
  5. E
    16

Cevap

Doğru cevap 28'dir.
Verilen simetri kurallarına göre sol taraftaki ifadelerin teklik-çiftlik durumları belirlenir. f(x)+x⋅g(x)f(x) + x \cdot g(x) ifadesinin çift, g(x)−x⋅f(x)g(x) - x \cdot f(x) ifadesinin ise tek fonksiyon olduğu görülür. Buradan tek dereceli terimlerin ve çift dereceli terimlerin katsayıları sıfıra eşitlenerek a=2a = 2 ve b=6b = 6 bulunur. Elde edilen denklem sistemi çözüldüğünde f(x)=8−x2f(x) = 8 - x^2 ve g(x)=4xg(x) = 4x kurallarına ulaşılır. İstenen f(2)+g(6)f(2) + g(6) değeri ise 28 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)+x⋅g(x)f(x) + x \cdot g(x) ifadesinin teklik-çiftlik durumunu belirleyin.
f(−x)+(−x)⋅g(−x)=f(x)+(−x)⋅(−g(x))=f(x)+x⋅g(x)f(-x) + (-x) \cdot g(-x) = f(x) + (-x) \cdot (-g(x)) = f(x) + x \cdot g(x) olduğundan bu ifade bir çift fonksiyondur.
Eşitliğin sol tarafındaki ifadenin simetrisini belirleyerek sağ taraftaki katsayıyı bulmak.
2
Çift fonksiyon özelliğini kullanarak aa değerini bulun.
3x2+(a−2)x+a+b3x^2 + (a - 2)x + a + b ifadesinde tek dereceli terimin katsayısı sıfır olmalıdır. Buradan a−2=0  ⟹  a=2a - 2 = 0 \implies a = 2 bulunur.
Çift fonksiyonların polinomiyal gösteriminde tek dereceli terimlerin bulunmaması kuralını uygulamak.
3
g(x)−x⋅f(x)g(x) - x \cdot f(x) ifadesinin simetri durumunu inceleyip bb değerini bulun.
g(−x)−(−x)⋅f(−x)=−g(x)+x⋅f(x)=−(g(x)−x⋅f(x))g(-x) - (-x) \cdot f(-x) = -g(x) + x \cdot f(x) = -(g(x) - x \cdot f(x)) olduğundan bu ifade tek fonksiyondur. Tek fonksiyonlarda çift dereceli terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır: b−6=0  ⟹  b=6b - 6 = 0 \implies b = 6 elde edilir.
Tek fonksiyonun özelliklerini kullanarak bilinmeyen katsayıyı belirlemek.
4
a=2a = 2 ve b=6b = 6 değerlerini yerine yazarak fonksiyon kurallarını belirleyin.
f(x)+x⋅g(x)=3x2+8f(x) + x \cdot g(x) = 3x^2 + 8 ve g(x)−x⋅f(x)=x3−4xg(x) - x \cdot f(x) = x^3 - 4x denklem sistemi elde edilir. İkinci denklemden g(x)=x⋅f(x)+x3−4xg(x) = x \cdot f(x) + x^3 - 4x yazılıp birinci denklemde yerine konulursa; f(x)+x2⋅f(x)+x4−4x2=3x2+8  ⟹  (1+x2)⋅f(x)=−x4+7x2+8=−(x2+1)(x2−8)  ⟹  f(x)=8−x2f(x) + x^2 \cdot f(x) + x^4 - 4x^2 = 3x^2 + 8 \implies (1+x^2) \cdot f(x) = -x^4 + 7x^2 + 8 = -(x^2+1)(x^2-8) \implies f(x) = 8 - x^2 ve g(x)=4xg(x) = 4x bulunur.
Elde edilen katsayılarla oluşturulan denklem sistemini çözerek fonksiyonları tanımlamak.
5
f(a)+g(b)f(a) + g(b) yani f(2)+g(6)f(2) + g(6) değerini hesaplayın.
f(2)=8−22=4f(2) = 8 - 2^2 = 4 ve g(6)=4⋅6=24g(6) = 4 \cdot 6 = 24 olup, toplam 4+24=284 + 24 = 28 bulunur.
İstenen nihai sayısal değeri elde etmek.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların cebirsel özellikleri ve fonksiyonların simetri dönüşümleri
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri

Bu konudan daha fazla soru