Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFonksiyonun Maksimum ve Minimum Değerleri
Bir seramik atölyesinde günde xx adet vazo üretilip satıldığında elde edilen günlük kâr (TL cinsinden) K(x)=−3x2+120x−500K(x) = -3x^2 + 120x - 500 fonksiyonu ile hesaplanmaktadır. Atölyenin günlük vazo üretim kapasitesi en fazla 50 adettir. Buna göre, bu atölyenin bir günde elde edebileceği en büyük kâr değeri, en küçük kâr değerinden kaç TL fazladır?

Cevap: 2700 TL

Cevap

En büyük kâr değeri en küçük kâr değerinden 2700 TL fazladır.
Fonksiyonun [0,50][0, 50] kapalı aralığındaki alabileceği en büyük değer tepe noktasında K(20)=700K(20) = 700 olarak bulunur. En küçük değer ise uç noktalardan biri olan x=50x = 50 için K(50)=−2000K(50) = -2000 olarak elde edilir. En büyük kâr ile en küçük kâr arasındaki fark 700−(−2000)=2700700 - (-2000) = 2700 TL'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Atölyenin günlük vazo üretim kapasitesine göre fonksiyonun tanım kümesini belirlemek
Tanım kümesi [0,50][0, 50] kapalı aralığıdır.
Günlük üretim miktarı negatif olamayacağından alt sınır 0, kapasite sınırı 50 olduğundan üst sınır 50'dir.
2
Parabolün tepe noktasının apsisini (rr) hesaplamak
r=20r = 20
K(x)=−3x2+120x−500K(x) = -3x^2 + 120x - 500 ikinci dereceden fonksiyonunun tepe noktasının apsisi r=−b2a=−1202⋅(−3)=20r = -\frac{b}{2a} = -\frac{120}{2 \cdot (-3)} = 20 formülü ile bulunur.
3
Tepe noktasındaki kâr değerini hesaplayarak maksimum kârı bulmak
K(20)=700K(20) = 700 TL
Tepe noktasının apsisi 2020, [0,50][0, 50] aralığında yer aldığından ve baş katsayı negatif (kollar aşağı doğru) olduğundan en büyük kâr değeri bu noktada elde edilir: K(20)=−3(20)2+120(20)−500=700K(20) = -3(20)^2 + 120(20) - 500 = 700.
4
Tanım kümesinin uç noktalarındaki değerleri hesaplayarak minimum kârı bulmak
K(0)=−500K(0) = -500 TL ve K(50)=−2000K(50) = -2000 TL olup minimum kâr −2000-2000 TL'dir.
Sınırlı bir aralıkta tanımlı parabolün alabileceği en küçük değer uç noktalardan birinde gerçekleşir. K(0)=−500K(0) = -500 ve K(50)=−3(50)2+120(50)−500=−2000K(50) = -3(50)^2 + 120(50) - 500 = -2000 değerlerinden küçük olanı en küçük kâr değeridir.
5
En büyük kâr ile en küçük kâr arasındaki farkı hesaplamak
700−(−2000)=2700700 - (-2000) = 2700 TL
En büyük kâr değerinin en küçük kâr değerinden kaç TL fazla olduğunu bulmak için en büyük değerden en küçük değer çıkarılır: 700−(−2000)=2700700 - (-2000) = 2700.

Anahtar Kavram

Sınırlı bir aralıkta tanımlı ikinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin tepe noktası ve uç noktalar incelenerek bulunması.
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyonun Maksimum ve Minimum Değerleri

Bu konudan daha fazla soru