Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSinüs Teoremi

Ortak [AC][AC] kenarına sahip olan ABCABC ve ACDACD üçgenlerinde;
* ∣AB∣=∣AD∣=6 birim|AB| = |AD| = 6\text{ birim},
* m(ACB^)=30∘m(\widehat{ACB}) = 30^\circ,
* m(ACD^)=45∘m(\widehat{ACD}) = 45^\circ,
* m(ABC^)=αm(\widehat{ABC}) = \alpha ve
* m(ADC^)=90∘+αm(\widehat{ADC}) = 90^\circ + \alpha
olarak veriliyor.

Buna göre, cot⁡α\cot \alpha değeri kaçtır?

  1. 2\sqrt{2}Cevap
  2. B
    22\frac{\sqrt{2}}{2}
  3. C
    −2-\sqrt{2}
  4. D
    −22-\frac{\sqrt{2}}{2}
  5. E
    63\frac{\sqrt{6}}{3}

Cevap

2\sqrt{2} olan seçenektir.
Sinüs Teoremi adımları doğru takip edilerek ortak olan [AC][AC] kenarı her iki üçgen için ayrı ayrı ifade edilmiş ve ikinci bölgede sinüsün işareti pozitif (+) olduğu için sin⁡(90∘+α)=cos⁡α\sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha indirgemesi kullanılarak cot⁡α=2\cot \alpha = \sqrt{2} değeri elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanır.
∣AC∣sin⁡α=∣AB∣sin⁡30∘  ⟹  ∣AC∣sin⁡α=61/2=12  ⟹  ∣AC∣=12sin⁡α\frac{|AC|}{\sin \alpha} = \frac{|AB|}{\sin 30^\circ} \implies \frac{|AC|}{\sin \alpha} = \frac{6}{1/2} = 12 \implies |AC| = 12 \sin \alpha
Ortak kenar olan ∣AC∣|AC| uzunluğunu sin⁡α\sin \alpha cinsinden ifade etmek amacıyla bu adım gerçekleştirilir.
2
ACDACD üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanır.
∣AC∣sin⁡(90∘+α)=∣AD∣sin⁡45∘  ⟹  ∣AC∣sin⁡(90∘+α)=62/2=62  ⟹  ∣AC∣=62sin⁡(90∘+α)\frac{|AC|}{\sin(90^\circ + \alpha)} = \frac{|AD|}{\sin 45^\circ} \implies \frac{|AC|}{\sin(90^\circ + \alpha)} = \frac{6}{\sqrt{2}/2} = 6\sqrt{2} \implies |AC| = 6\sqrt{2} \sin(90^\circ + \alpha)
Ortak kenar olan ∣AC∣|AC| uzunluğunu ikinci üçgendeki açılar cinsinden ifade etmek amacıyla bu adım gerçekleştirilir.
3
Trigonometrik indirgeme formülü kullanılarak ikinci adımdaki ifade sadeleştirilir.
sin⁡(90∘+α)=cos⁡α\sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha olduğundan, ∣AC∣=62cos⁡α|AC| = 6\sqrt{2} \cos \alpha elde edilir.
İkinci bölgedeki sinüs değerinin pozitif olduğu bilgisi kullanılarak ifade sadeleştirilir.
4
Her iki üçgenden elde edilen ∣AC∣|AC| ifadeleri birbirine eşitlenerek cot⁡α\cot \alpha hesaplanır.
12sin⁡α=62cos⁡α  ⟹  cos⁡αsin⁡α=1262  ⟹  cot⁡α=22=212 \sin \alpha = 6\sqrt{2} \cos \alpha \implies \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{12}{6\sqrt{2}} \implies \cot \alpha = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}
Aynı ortak kenara ait iki farklı ifadenin eşitliğinden yararlanılarak trigonometrik oran elde edilir.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve trigonometrik indirgeme formüllerinin birlikte uygulanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru