Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSabit ve Eşit Diziler

kk ve pp birer tam sayı olmak üzere, her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için genel terimi

an=k⋅n+242n−pa_n = \frac{k \cdot n + 24}{2n - p}

olan (an)(a_n) ifadesi bir sabit dizi belirtmektedir.

Buna göre, pp sayısının alabileceği kaç farklı değer vardır?

  1. A
    4
  2. B
    10
  3. 12Cevap
  4. D
    16
  5. E
    20

Cevap

12
Dizinin genel teriminin sabit olması için pay ve paydanın sadeleşerek sabit bir sayı vermesi gerekir, bu da k⋅p=−48k \cdot p = -48 eşitliğini gerektirir. Dizi tanımı gereği her n≥1n \ge 1 pozitif tam sayısı için tanımlı olmalıdır. Paydayı sıfır yapan p=2np = 2n değerleri pozitif çift tam sayılar olduğundan, 48'in pozitif çift bölenleri olan 8 değer elenir. Kalan 12 adet bölen tanımlılık şartına uyar.

Adım Adım Çözüm

1
Rasyonel ifadenin sabit dizi belirtmesi için pay ve paydadaki değişkenlerin katsayıları oranını sabit terimlerin oranına eşitleriz.
k2=24−p  ⟹  k⋅p=−48\frac{k}{2} = \frac{24}{-p} \implies k \cdot p = -48 eşitliği elde edilir.
Bir dizinin terimlerinin indis nn'ye bağlı olmaksızın sabit kalması için pay ile paydanın sadeleşebilir ve sabit bir orana eşit olması gerekir.
2
kk ve pp tam sayı olduğundan, pp parametresinin alabileceği değerler 48 sayısının tam sayı bölenleri olmalıdır. 48'in tüm tam sayı bölenleri bulunur.
48'in pozitif bölenleri: {1,2,3,4,6,8,12,16,24,48}\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\} (10 adet).
48'in negatif bölenleri: {−1,−2,−3,−4,−6,−8,−12,−16,−24,−48}\{-1, -2, -3, -4, -6, -8, -12, -16, -24, -48\} (10 adet).
Toplamda 20 farklı tam sayı böleni vardır.
Çarpımları −48-48 olan iki tam sayının çarpanları, 48 sayısının bölenleri arasından seçilmelidir.
3
Dizinin tanım kümesi pozitif tam sayılar (Z+\mathbb{Z}^+) olduğundan, genel terimin paydası hiçbir n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için sıfır olmamalıdır. Bu tanımlılık koşuluna göre pp'nin sınırları belirlenir.
2n−p≠0  ⟹  p≠2n2n - p \neq 0 \implies p \neq 2n (burada n∈{1,2,3,… }n \in \{1, 2, 3, \dots\}).
Bu koşul, pp parametresinin pozitif çift tam sayılar olamayacağını gösterir.
Eğer pp bir pozitif çift tam sayı olursa (örneğin p=2mp=2m), n=mn=m pozitif tam sayısı için payda sıfır olur ve dizinin mm. terimi tanımsız hale gelir.
4
Bulunan 20 tam sayı böleninden pozitif çift olanlar elenerek kalanların sayısı hesaplanır.
Elenen değerler: {2,4,6,8,12,16,24,48}\{2, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\} (8 adet).
Kalan değerler: {1,3}\{1, 3\} ve tüm negatif bölenler olan {−1,−2,−3,−4,−6,−8,−12,−16,−24,−48}\{-1, -2, -3, -4, -6, -8, -12, -16, -24, -48\}.
Toplam uygun değer sayısı: 2+10=122 + 10 = 12 adettir.
Tanımlılık koşulunu sağlayan ve çarpımları −48-48 olan tüm olası pp tam sayı değerleri bunlardır.

Anahtar Kavram

Sabit dizilerde rasyonel ifadelerin katsayılar oranı ve dizilerin pozitif tam sayılarda tanımlı olma zorunluluğu (tanımsızlık durumları).
Bu soruyu puanla

Konular

Sabit ve Eşit Diziler

Bu konudan daha fazla soru