Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

f(x)=ax2−6x+5f(x) = ax^2 - 6x + 5 parabolünün x=1x = 1 apsisli noktasındaki normal doğrusu, x−2y+1=0x - 2y + 1 = 0 doğrusuna paraleldir.

Buna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?

  1. A
    -1
  2. 2Cevap
  3. C
    4
  4. D
    114\frac{11}{4}
  5. E
    134\frac{13}{4}

Cevap

a parametresinin değeri 2 olmalıdır.
Parabolün teğetinin eğimi, o noktadaki türeve eşittir. Normal doğrusu verilen doğruya paralel olduğundan eğimleri eşittir ve teğet ile normal dik olduğundan teğet eğimi -2 olarak bulunur. Buradan türev değeri -2'ye eşitlenerek a = 2 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen doğrunun eğimini bulmak için denklem düzenlenir.
y=12x+12y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} elde edilir ve doğrunun eğimi m=12m = \frac{1}{2} olarak bulunur.
Normal doğrusunun eğimini belirlemek için paralel olduğu doğrunun eğimine ihtiyaç vardır.
2
Normal doğrusunun eğimi belirlenir.
mn=12m_n = \frac{1}{2} olur.
Paralel doğruların eğimleri eşittir.
3
Teğet doğrusunun eğimi (mtm_t) hesaplanır.
mt=−2m_t = -2 bulunur.
Aynı noktadaki teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1 olmalıdır (mt⋅mn=−1m_t \cdot m_n = -1).
4
Fonksiyonun türevi alınıp x=1x = 1 noktasındaki teğet eğimine eşitlenerek aa değeri bulunur.
f′(x)=2ax−6  ⟹  f′(1)=2a−6=−2  ⟹  a=2f'(x) = 2ax - 6 \implies f'(1) = 2a - 6 = -2 \implies a = 2 elde edilir.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet ve normal doğrularının eğimleri sırasıyla o noktadaki türeve ve türevin negatif çarpmaya göre tersine eşittir.
Bu soruyu puanla

Konular

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Bu konudan daha fazla soru