Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKosinüs Teoremi

Bir duvar saatinin akrebinin uzunluğu 4 cm4\text{ cm}, yelkovanının uzunluğu ise 6 cm6\text{ cm} olarak ölçülmüştür.

Buna göre, saat tam 16.00'yı gösterdiğinde akrep ile yelkovanın uç noktaları arasındaki en kısa uzaklık kaç cm\text{cm} olur?

  1. A
    272\sqrt{7}
  2. B
    2102\sqrt{10}
  3. C
    2132\sqrt{13}
  4. 2192\sqrt{19}Cevap
  5. E
    88

Cevap

2192\sqrt{19}
Saat 16.00'da yelkovan 12'yi, akrep ise 4'ü gösterir. Bu iki gösterge arasındaki açı 4×30∘=120∘4 \times 30^\circ = 120^\circ olur. Kenar uzunlukları 4 cm4\text{ cm} ve 6 cm6\text{ cm} olan ve aralarındaki açı 120∘120^\circ olan üçgende Kosinüs Teoremi uygulandığında uç noktalar arasındaki uzaklık dd olmak üzere, d2=42+62−2⋅4⋅6⋅cos⁡(120∘)d^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ) bağıntısı elde edilir. cos⁡(120∘)=−1/2\cos(120^\circ) = -1/2 değeri yerine yazıldığında d2=16+36+24=76d^2 = 16 + 36 + 24 = 76 bulunur. Buradan d=76=219 cmd = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}\text{ cm} hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Saat kadranı üzerinde akrep ile yelkovan arasındaki açıyı derece cinsinden belirleme.
Açı 120∘120^\circ olarak bulunur.
Saat kadranı 12 eşit parçaya bölünmüştür ve her parça 30∘30^\circ lik yayı temsil eder. Saat 16.00'da yelkovan 12'yi, akrep ise 4'ü gösterdiğinden aralarındaki açı 4×30∘=120∘4 \times 30^\circ = 120^\circ olur.
2
Akrep ve yelkovanın uzunlukları (4 cm4\text{ cm} ve 6 cm6\text{ cm}) ve aralarındaki açıyı (120∘120^\circ) kullanarak Kosinüs Teoremi formülünü kurma.
d2=42+62−2⋅4⋅6⋅cos⁡(120∘)d^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ) denklemi elde edilir.
Bir üçgende iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açı biliniyorsa, karşı kenarın uzunluğu Kosinüs Teoremi ile hesaplanır.
3
Açının kosinüs değerini indirgeme kurallarına göre belirleme.
cos⁡(120∘)=−12\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} bulunur.
120∘120^\circ açısı ikinci bölgededir ve bu bölgede kosinüs fonksiyonu negatiftir. cos⁡(120∘)=cos⁡(180∘−60∘)=−cos⁡(60∘)=−12\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} olur.
4
Kosinüs değerini ve kenar uzunluklarının karelerini denklemde yerine yazıp uzaklığı hesaplama.
d2=16+36−48⋅(−12)=52+24=76  ⟹  d=219 cmd^2 = 16 + 36 - 48 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 52 + 24 = 76 \implies d = 2\sqrt{19}\text{ cm} elde edilir.
Denklemin çözülmesiyle uç noktalar arasındaki en kısa doğrusal uzaklık bulunmuş olur.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi kullanılarak iki kenarı ve aralarındaki açısı verilen üçgenin üçüncü kenarının hesaplanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Kosinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru