Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTekrarlı Permütasyon

Bir hasta; 3 adedi özdeş sarı, 2 adedi özdeş mavi ve 1 adedi kırmızı olan toplam 6 ilacı, 6 gün boyunca her gün bir adet içecektir.

Mavi ilaçları ardışık günlerde içmek istemeyen bu hasta, bu ilaçların tamamını kaç farklı sıralamayla içebilir?

Cevap: 40

Cevap

Hasta bu ilaçları mavi ilaçlar ardışık günlerde olmayacak şekilde 40 farklı sıralamayla i��ebilir.
Toplam 6 ilacın (3 özdeş sarı, 2 özdeş mavi, 1 kırmızı) hiçbir koşul olmadan sıralanma sayısı 6!3!⋅2!=60\frac{6!}{3! \cdot 2!} = 60'tır. Mavi ilaçların ardışık günlerde içildiği durumlar için iki mavi ilaç tek bir eleman (MM)(MM) kabul edilir ve geriye kalan 3 sarı ile 1 kırmızı ilaçla birlikte {S, S, S, (MM), K} şeklinde 5!3!=20\frac{5!}{3!} = 20 farklı dizilim oluşturur. İstenen koşula uymayan bu 20 durum tüm durumlardan çıkarıldığında geriye kalan 40 durumda mavi ilaçlar hiçbir zaman ardışık günlerde içilmemiş olur.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm olası sıralamaların sayısını hesaplama
Tüm durumlar = 60
Elimizde 3 özdeş sarı (S), 2 özdeş mavi (M) ve 1 kırmızı (K) olmak üzere toplam 6 ilaç vardır. Herhangi bir kısıtlama olmaksızın bu ilaçların sıralanma sayısı tekrarlı permütasyon ile 6!3!⋅2!⋅1!=7206⋅2=60\frac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!} = \frac{720}{6 \cdot 2} = 60 olarak bulunur.
2
Mavi ilaçların ardışık günlerde içildiği durumların sayısını hesaplama
Mavi ilaçların yan yana olduğu durumlar = 20
Mavi ilaçların ardışık günlerde içildiği durumları bulmak için iki mavi ilacı birbirine ba��lı tek bir eleman (MM)(MM) olarak kabul ederiz. Bu durumda sıralanacak elemanlar {S, S, S, (MM), K} olur. Burada 3 adet özdeş S, 1 adet (MM) grubu ve 1 adet K olmak üzere toplam 5 eleman vardır. Bu elemanların dizilim sayısı tekrarlı permütasyon ile 5!3!⋅1!⋅1!=1206=20\frac{5!}{3! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{120}{6} = 20 olur.
3
İstenen durumların sayısını bulma
İstenen durum sayısı = 40
Tüm durumlardan, mavi ilaçların ardışık günlerde içildiği istenmeyen durumları çıkartarak sonuca ulaşırız: 60−20=4060 - 20 = 40.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon ve tüm durumlardan istenmeyen durumların çıkarılması (tümleme yöntemi).
Bu soruyu puanla

Konular

Tekrarlı Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru