Examkin

Soru

Zorluk: KolayKosinüs Teoremi

Bir KLMKLM üçgeninde LL köşesindeki iç açının ölçüsü 120∘120^\circ dir. Bu köşeyi oluşturan kenarların uzunlukları ∣KL∣=7 birim|KL| = 7\text{ birim} ve ∣LM∣=8 birim|LM| = 8\text{ birim} olduğuna göre, KMKM kenarının uzunluğu kaç birimdir?

  1. A
    57\sqrt{57}
  2. B
    113\sqrt{113}
  3. 13Cevap
  4. D
    141\sqrt{141}
  5. E
    15

Cevap

KM kenarının uzunluğu 13 birimdir.
Kosinüs teoremi gereği, bilinmeyen kenarın karesi, bilinen kenarların kareleri toplamından bu kenarların çarpımının iki katı ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımının çıkarılmasına eşittir. cos⁡(120∘)=−1/2\cos(120^\circ) = -1/2 değeri yerine yazılarak yapılan hesaplamada x2=49+64−112⋅(−1/2)=169x^2 = 49 + 64 - 112 \cdot (-1/2) = 169 eşitliğinden x=13x = 13 birim bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs teoremi formülünü yazıp verilen değerleri yerleştirmek.
x2=∣KL∣2+∣LM∣2−2⋅∣KL∣⋅∣LM∣⋅cos⁡(m(KLM^))x^2 = |KL|^2 + |LM|^2 - 2 \cdot |KL| \cdot |LM| \cdot \cos(m(\widehat{KLM}))
Üçgende iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açı bilindiğinde karşı kenarı bulmak için kosinüs teoremi uygulanır.
2
Verilen kenar uzunluklarını ve açının kosinüs değerini yerine yazmak.
x2=72+82−2⋅7⋅8⋅cos⁡(120∘)x^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ)
Soruda verilen ∣KL∣=7|KL| = 7, ∣LM∣=8|LM| = 8 ve açı değeri 120∘120^\circ bağıntıda yerlerine konur.
3
120∘120^\circ açısının kosinüs değerini hesaplamak.
cos⁡(120∘)=−cos⁡(60∘)=−12\cos(120^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}
120∘120^\circ açısı ikinci bölgede yer aldığı için kosinüs değeri negatiftir.
4
İşlemleri tamamlayarak bilinmeyen kenar uzunluğunu bulmak.
x2=49+64−112⋅(−12)=113+56=169⇒x=13x^2 = 49 + 64 - 112 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 113 + 56 = 169 \Rightarrow x = 13
Elde edilen denklemin karekökü alınarak uzunluk değeri pozitif olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kosinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru