Bir ABC üçgeninde m(\widehat{C}) > 90^\circ olup bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı R b… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{C}) > 90^\circ$ olup bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı $R$ birimdir.

Üçgenin alanı ile çevrel çemberinin yarıçapı arasında,

\text{Alan}(ABC) = R^2 \cdot \sin A \cdot \sin B

bağıntısı sağlandığına g��re,

C

açısının ölçüsü kaç derecedir?

150

Üçgenin alan formülünde Sinüs Teoremi kullanılarak elde edilen kenar uzunlukları yerine yazıldığında

\text{Alan}(ABC) = 2R^2 \sin A \sin B \sin C

eşitliğine ulaşılır. Bu genel bağıntı soruda verilen

R^2 \sin A \sin B

ifadesine eşitlendiğinde

\sin C = \frac{1}{2}

elde edilir.

m(\widehat{C}) > 90^\circ

koşulunu sağlayan tek açı

150^\circ

olduğundan doğru cevap bu değeri içeren seçenektir.

Üçgenin alan formülünü ve Sinüs Teoremi bağıntılarını yazalım.

Alan formülü:

\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} a b \sin C

. Sinüs Teoremi'ne göre:

a = 2R \sin A

b = 2R \sin B

Kenar uzunluklarını çevrel çemberin yarıçapı ve açılar cinsinden ifade etmek için.

Sinüs Teoremi'nden elde ettiğimiz kenar uzunluğu ifadelerini alan formülünde yerine koyalım.

\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} (2R \sin A) (2R \sin B) \sin C = 2 R^2 \sin A \sin B \sin C

Alan formülünü

R

ve açıların sinüsleri cinsinden tek bir eşitlikte birleştirmek için.

Elde ettiğimiz genel alan bağıntısını, soruda verilen alan bağıntısıyla eşitleyelim.

2 R^2 \sin A \sin B \sin C = R^2 \sin A \sin B \implies 2 \sin C = 1 \implies \sin C = \frac{1}{2}

C

açısının sinüs değerini belirlemek için.

\sin C = \frac{1}{2}

denklemini

m(\widehat{C}) > 90^\circ

koşulunu göz önünde bulundurarak çözelim.

Sinüsü

\frac{1}{2}

olan açılar

30^\circ

180^​​^\circ - 30^\circ = 150^\circ

derecedir. Soruda

m(\widehat{C}) > 90^\circ

(geniş açı) olduğu belirtildiğinden

C = 150^\circ

olmalıdır.

Geniş açılı üçgen tanımına uyan açıyı bulmak için.

Sinüs Teoremi ve Üçgende Alan İlişkisi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru