Examkin

Soru

Zorluk: ZorTek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri

Tanım kümeleri gerçel sayılar kümesi olan ff ve gg fonksiyonlarından; ff fonksiyonunun grafiği başlangıç noktasına (orijine) göre simetrik, gg fonksiyonunun grafiği ise yy-eksenine göre simetriktir.

Her xx gerçel sayısı için
f(x)+(x−1)⋅g(x)=3x3−x2+5x−2f(x) + (x - 1) \cdot g(x) = 3x^3 - x^2 + 5x - 2
koşulu sağlandığına göre, f(2)−g(3)f(2) - g(3) farkı kaçtır?

Cevap: 11

Cevap

İstenen farkın değeri 11'dir.
Fonksiyonların tek ve çift fonksiyon tanımları gereği f(-x) = -f(x) ve g(-x) = g(x) eşitlikleri kullanılır. Eşitlikte x yerine -x yazılıp taraf tarafa toplandığında g(x) = x^2 + 2 ve f(x) = 2x^3 + 3x elde edilir. Buradan f(2) = 22 ve g(3) = 11 bulunarak farkları 11 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Grafik simetrilerinden fonksiyonların cebirsel kurallarını belirleme.
ff fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik olduğundan tek fonksiyondur ve her xx gerçel sayısı için f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) eşitliğini sağlar. gg fonksiyonunun grafiği yy-eksenine göre simetrik olduğundan çift fonksiyondur ve her xx gerçel sayısı için g(−x)=g(x)g(-x) = g(x) eşitliğini sağlar.
Fonksiyonların tek veya çift olma durumları grafiklerinin koordinat sistemindeki simetrileriyle tanımlanır.
2
Verilen denklemde xx yerine −x-x yazarak yeni bir denklem sistemi kurma.
Verilen denklemde xx yerine −x-x yazıldığında:
f(−x)+(−x−1)⋅g(−x)=3(−x)3−(−x)2+5(−x)−2f(-x) + (-x - 1) \cdot g(-x) = 3(-x)^3 - (-x)^2 + 5(-x) - 2
Simetri özellikleri (f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) ve g(−x)=g(x)g(-x) = g(x)) uygulandığında denklem:
−f(x)−(x+1)⋅g(x)=−3x3−x2−5x−2-f(x) - (x + 1) \cdot g(x) = -3x^3 - x^2 - 5x - 2
halini alır.
Aynı bilinmeyen fonksiyonları içeren ikinci bir bağımsız eşitlik elde edilerek denklem sistemi oluşturulur.
3
İki denklemi taraf tarafa toplayarak g(x)g(x) fonksiyonunu yalnız bırakma.
Eldeki iki denklem taraf tarafa toplanır:
1) f(x)+(x−1)⋅g(x)=3x3−x2+5x−2f(x) + (x - 1) \cdot g(x) = 3x^3 - x^2 + 5x - 2
2) −f(x)−(x+1)⋅g(x)=−3x3−x2−5x−2-f(x) - (x + 1) \cdot g(x) = -3x^3 - x^2 - 5x - 2

Toplama işlemi sonucunda:
[f(x)−f(x)]+[(x−1)⋅g(x)−(x+1)⋅g(x)]=(3x3−3x3)+(−x2−x2)+(5x−5x)+(−2−2)[f(x) - f(x)] + [(x - 1) \cdot g(x) - (x + 1) \cdot g(x)] = (3x^3 - 3x^3) + (-x^2 - x^2) + (5x - 5x) + (-2 - 2)
−2⋅g(x)=−2x2−4  ⟹  g(x)=x2+2-2 \cdot g(x) = -2x^2 - 4 \implies g(x) = x^2 + 2
bulunur.
f(x)f(x) terimi elenerek doğrudan g(x)g(x) kuralına ulaşılır.
4
g(x)g(x) ifadesini ilk denklemde yerine koyup f(x)f(x) fonksiyonunu çözme.
f(x)+(x−1)(x2+2)=3x3−x2+5x−2f(x) + (x - 1)(x^2 + 2) = 3x^3 - x^2 + 5x - 2
f(x)+x3−x2+2x−2=3x3−x2+5x−2f(x) + x^3 - x^2 + 2x - 2 = 3x^3 - x^2 + 5x - 2
f(x)=2x3+3xf(x) = 2x^3 + 3x
bulunur.
Bilinmeyenlerden biri bulunduktan sonra diğeri yerine yazma yöntemiyle çözülür.
5
f(2)f(2) ve g(3)g(3) değerlerini hesaplayıp farklarını alma.
f(2)=2(23)+3(2)=16+6=22f(2) = 2(2^3) + 3(2) = 16 + 6 = 22
g(3)=32+2=9+2=11g(3) = 3^2 + 2 = 9 + 2 = 11
f(2)−g(3)=22−11=11f(2) - g(3) = 22 - 11 = 11
bulunur.
Bulunan genel fonksiyon kuralları üzerinde istenen noktalardaki değerler hesaplanıp işlem tamamlanır.

Anahtar Kavram

Simetri özellikleri yardımıyla fonksiyon denklemlerini çözme ve değer hesaplama.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri

Bu konudan daha fazla soru