Examkin

Soru

Zorluk: ZorParabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
Dik koordinat düzleminde, tepe noktası TT olan
f(x)=x2−4x+af(x) = x^2 - 4x + a
parabolü ile tepe noktası SS olan
g(x)=−x2+bx+3g(x) = -x^2 + bx + 3
parabolü veriliyor.

Bu iki parabolün simetri eksenleri aynı doğru üzerindedir.

TT ve SS noktaları arasındaki uzaklık 66 birim olduğuna göre, aa sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevap: 22

Cevap

a sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 22'dir.
Parabollerin simetri eksenleri olan x=rfx = r_f ve x=rgx = r_g doğrularının çakışık olmasından yola çıkılarak rf=2r_f = 2 ve buradan b=4b = 4 bulunmuştur. Ardından tepe noktalarının ordinatları sırasıyla a−4a - 4 ve 77 olarak hesaplanmış, aralarındaki uzaklığın 66 birim olmasından ∣a−11∣=6|a - 11| = 6 eşitliğine ulaşılmıştır. Bu eşitlikten aa değerleri 1717 ve 55 bulunmuş, toplamları ise 2222 olarak elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−4x+af(x) = x^2 - 4x + a parabolünün simetri eksenini bulunuz.
x=2x = 2 doğrusudur.
Bir parabolün simetri ekseni tepe noktasının apsisidir ve r=−b2ar = -\frac{b}{2a} formülüyle hesaplanır. Burada r=−−42⋅1=2r = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 olur.
2
g(x)=−x2+bx+3g(x) = -x^2 + bx + 3 parabolünün simetri eksenini f(x)f(x) parabolünün simetri ekseni ile eşitleyerek bb katsayısını bulunuz.
b=4b = 4 bulunur.
Her iki parabolün simetri eksenleri aynı olduğundan, g(x)g(x) parabolünün simetri ekseni de x=2x = 2 doğrusudur. Buna göre, r=−b2⋅(−1)=2  ⟹  b=4r = -\frac{b}{2 \cdot (-1)} = 2 \implies b = 4 elde edilir.
3
Her iki parabolün tepe noktalarının koordinatlarını hesaplayınız.
T(2,a−4)T(2, a - 4) ve S(2,7)S(2, 7) noktaları elde edilir.
f(2)=22−4(2)+a=a−4f(2) = 2^2 - 4(2) + a = a - 4 olduğundan f(x)f(x) parabolünün tepe noktası T(2,a−4)T(2, a - 4) olur. g(2)=−22+4(2)+3=7g(2) = -2^2 + 4(2) + 3 = 7 olduğundan g(x)g(x) parabolünün tepe noktası S(2,7)S(2, 7) olur.
4
Tepe noktaları arasındaki 66 birimlik uzaklık bilgisini kullanarak aa değerlerini belirleyiniz.
a=17a = 17 veya a=5a = 5 bulunur.
Apsisleri aynı olan T(2,a−4)T(2, a - 4) ve S(2,7)S(2, 7) noktaları arasındaki uzaklık, ordinatları farkının mutlak değeridir: ∣(a−4)−7∣=6  ⟹  ∣a−11∣=6|(a - 4) - 7| = 6 \implies |a - 11| = 6 denkleminden a−11=6  ⟹  a=17a - 11 = 6 \implies a = 17 ve a−11=−6  ⟹  a=5a - 11 = -6 \implies a = 5 bulunur.
5
aa değerlerinin toplamını bulunuz.
17+5=2217 + 5 = 22 bulunur.
aa sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 17+5=2217 + 5 = 22 olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Parabolün simetri ekseninin tepe noktasının apsisi olması (x=r=−b2ax = r = -\frac{b}{2a}) ve aynı apsise sahip iki nokta arasındaki uzaklığın ordinatların mutlak farkı şeklinde ifade edilmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

Bu konudan daha fazla soru