Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTers Trigonometrik Fonksiyonlar
arctan⁡(x)+arctan⁡(x+1)=arctan⁡(3)\arctan(x) + \arctan(x + 1) = \arctan(3)

denklemini sağlayan xx gerçel sayısı için 3x3x ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 1

Cevap

Denklemi sağlayan xx gerçel sayısı 13\frac{1}{3} olup, bu değerin 33 katı 11'dir.
Eşitliğin her iki tarafının tanjantı alınıp toplam formülü uygulandığında rasyonel bir denklem elde edilir. Bu denklemin düzenlenmesiyle oluşan ikinci dereceden denklem çözüldüğünde x = 1/3 ve x = -2 değerleri bulunur. Ancak arctan fonksiyonunun değer kümesi (-\pi/2, \pi/2) olduğundan, iki negatif terimin toplamı pozitif olan \arctan(3) değerine eşit olamaz. Bu sebeple x = -2 kökü elenir ve geriye yalnızca x = 1/3 kalır. Bu değerin 3 katı ise 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının tanjantını almak
tan⁡(arctan⁡(x)+arctan⁡(x+1))=tan⁡(arctan⁡(3))=3\tan(\arctan(x) + \arctan(x+1)) = \tan(\arctan(3)) = 3
Ters trigonometrik ifadeleri cebirsel ifadelere dönüştürmek amacıyla eşitliğin her iki tarafına tanjant fonksiyonu uygulanır.
2
Tanjant toplam formülünü uygulamak
x+(x+1)1−x(x+1)=3\frac{x + (x+1)}{1 - x(x+1)} = 3
tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta} toplam formülü ve tan⁡(arctan⁡(u))=u\tan(\arctan(u)) = u özdeşliği kullanılır.
3
Elde edilen rasyonel ifadeyi düzenleyerek ikinci dereceden denkleme dönüştürmek
3x2+5x−2=03x^2 + 5x - 2 = 0
İçler dışlar çarpımı yapılarak payda sıfırdan farklı kabulüyle cebirsel ifade sadeleştirilir.
4
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırmak ve kökleri bulmak
(3x−1)(x+2)=0  ⟹  x=13 veya x=−2(3x-1)(x+2) = 0 \implies x = \frac{1}{3} \text{ veya } x = -2
Denklemin sıfır noktalarını (köklerini) belirlemek için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
5
Bulunan köklerin ters tanjant fonksiyonunun tanım ve değer aralıklarına uygunluğunu denetlemek
x=13x = \frac{1}{3} denklemi sağlar, x=−2x = -2 denklemi sağlamaz.
arctan⁡\arctan fonksiyonunun değer aralığı (−π/2,π/2)(-\pi/2, \pi/2) olduğundan, x=−2x = -2 için sol taraftaki her iki terim de negatif açılar üretir ve toplamları negatif olur. Ancak sağ taraftaki arctan⁡(3)\arctan(3) değeri pozitiftir. Bu nedenle x=−2x = -2 kökü elenir.
6
İstenen 3x3x değerini hesaplamak
3x=13x = 1
Bulunan geçerli x=1/3x = 1/3 kökünün 33 katı alınır.

Anahtar Kavram

Ters tanjant fonksiyonunun değer kümeleri ile tanjant toplam formülünün uygulanması
Bu soruyu puanla

Konular

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru