Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

x∈(5π6,π)x \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right) olmak üzere,

a=cos⁡(2x)cos⁡(x)+sin⁡(x)a = \frac{\cos(2x)}{\cos(x) + \sin(x)}
b=2tan⁡(x)cos⁡(x)csc⁡(x)b = \frac{2\tan(x)\cos(x)}{\csc(x)}
c=1−tan⁡2(x)sec⁡2(x)c = \frac{1 - \tan^2(x)}{\sec^2(x)}

ifadeleri tanımlanıyor. Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1a
  2. 2b
  3. 3c

Cevap

a, b ve c değerlerinin küçükten büyüğe doğru sıralanışı a < b < c şeklindedir.
Sadeleştirilmiş ifadelerin verilen aralıktaki değerleri incelendiğinde; a negatif, b sıfır ile bir bölü iki aralığında pozitif, c ise bir bölü iki ile bir aralığında pozitif değerler alır. Bu durumda en küçük değer a, ortanca değer b ve en büyük değer c olur.

Adım Adım Çözüm

1
a ifadesini özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme
a=cos⁡(x)−sin⁡(x)a = \cos(x) - \sin(x)
cos⁡(2x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)=(cos⁡(x)−sin⁡(x))(cos⁡(x)+sin⁡(x))\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = (\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x)) iki kare farkı özdeşliği pay kısmında yerine yazılır ve payda ile sadeleştirilir.
2
b ifadesini özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme
b=2sin⁡2(x)b = 2\sin^2(x)
tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} ve csc⁡(x)=1sin⁡(x)\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} eşitlikleri yerine yazılarak ifade sadeleştirilir.
3
c ifadesini özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme
c=cos⁡(2x)c = \cos(2x)
sec⁡2(x)=1cos⁡2(x)\sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} ve tan⁡2(x)=sin⁡2(x)cos⁡2(x)\tan^2(x) = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} özdeşlikleri kullanılarak ifade sadeleştirilir.
4
Açı aralığına göre her bir ifadenin işaretini ve alabileceği değer aralığını belirleme
a<0a < 0, 0<b<120 < b < \frac{1}{2}, 12<c<1\frac{1}{2} < c < 1
x∈(5π6,π)x \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right) aralığı ikinci bölgededir. İkinci bölgede kosinüs negatif, sinüs pozitiftir. Bu nedenle a=cos⁡(x)−sin⁡(x)a = \cos(x) - \sin(x) ifadesi negatiftir. sin⁡(x)∈(0,12)\sin(x) \in \left(0, \frac{1}{2}\right) olduğundan b=2sin⁡2(x)∈(0,12)b = 2\sin^2(x) \in \left(0, \frac{1}{2}\right) olur. 2x∈(5π3,2π)2x \in \left(\frac{5\pi}{3}, 2\pi\right) aralığı dördüncü bölgededir ve kosinüs pozitiftir, böylece c=cos⁡(2x)∈(12,1)c = \cos(2x) \in \left(\frac{1}{2}, 1\right) olur.
5
Değer aralıklarını karşılaştırarak sıralamayı yapma
a<b<ca < b < c
aa negatif, bb ve cc pozitif olup bb değeri 1/21/2 değerinden küçük, cc değeri ise 1/21/2 değerinden büyük olduğu için sıralama bu şekilde elde edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonlarda özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme yapma ve bölgelere göre işaret/değer sıralaması gerçekleştirme.
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru