Analitik düzlemde, köşeleri A(0, 3), B(0, 0) ve C(4, 0) noktaları olan ABC üçgensel bölges… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Analitik düzlemde, köşeleri $A(0, 3)$ , $B(0, 0)$ ve $C(4, 0)$ noktaları olan $ABC$ üçgensel bölgesinin sınırları üzerinde veya iç bölgesinde bulunan ve koordinatları tam sayı olan noktalardan rastgele iki farklı nokta seçiliyor.

Buna göre, seçilen bu iki nokta arasındaki uzaklığın en fazla $2$ birim olma olasılığı kaçtır?

A
$\frac{29}{110}$
B
$\frac{4}{11}$
C
$\frac{23}{45}$
D
$\frac{1}{2}$
$\frac{29}{55}$ Cevap

Cevap

Seçilen iki nokta arasındaki uzaklığın en fazla 2 birim olma olasılığı 29/55'tir.

Üçgensel bölgedeki 11 tam sayı koordinatlı noktadan seçilen 55 farklı ikiliden, aralarındaki mesafe 1, karekök 2 veya 2 birim olan 29 çift bulunmaktadır. Bu nedenle aranan olasılık 29/55'tir.

Adım Adım Çözüm

Üçgensel bölgedeki tam sayı koordinatlı noktaların belirlenmesi

x \ge 0

y \ge 0

3x + 4y \le 12

koşullarını sağlayan tam sayı ikilileri belirlenir:

(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (3,0), (4,0)

olmak üzere toplam 11 nokta vardır.

Olasılık hesabının yapılacağı örnek uzayı oluşturacak elemanların doğru tespit edilmesi gerekir.

Toplam olası durum sayısının hesaplanması

11 noktadan rastgele 2 farklı noktanın seçilme sayısı kombinasyon ile bulunur:

s(E) = \binom{11}{2} = \frac{11 \times 10}{2} = 55

Seçim işleminde sıranın önemi olmadığından kombinasyon hesabı kullanılır.

İstenen durumların (uzaklığı en fazla 2 birim olan noktaların) sayılması

İki nokta arasındaki uzaklığın en fazla 2 birim olması için aralarındaki yatay mesafe

dx

ve dikey mesafe

dy

olmak üzere

dx^2 + dy^2 \le 4

olmalıdır. Bu durumları mesafelerine göre sınıflandırabiliriz:
- Uzaklığı 1 birim olanlar (yatay veya dikey komşu): 7 yatay + 6 dikey = 13 çift.
- Uzaklığı

\sqrt{2}

birim olanlar (çapraz komşu): 9 çift.
- Uzaklığı 2 birim olanlar (yatay veya dikeyde 2 birim uzaklıkta): 4 yatay + 3 dikey = 7 çift.
Toplam elverişli durum sayısı:

13 + 9 + 7 = 29

çift.

Koşulu sağlayan durumların sayısı gruplandırılarak eksiksiz ve hatasız biçimde sayılır.

Olasılık değerinin bulunması

Olasılık =

\frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Durumların Sayısı}} = \frac{29}{55}

Olasılık tanımı gereği elverişli durumların sayısı tüm durumların sayısına bölünür.

Anahtar Kavram

Örnek uzay elemanlarının kombinasyon ile bulunması ve basit olayların olasılığı formülünün uygulanması.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru