Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorBir Boyutta Sabit İvmeli Hareket

Düşey doğrultuda ve yukarı yönde sabit v0v_0 hızıyla yükselmekte olan bir sıcak hava balonu, yerden hh yükseklikteyken balondan bir cisim balona göre serbest bırakılıyor. Cisim bırakıldıktan t0t_0 süre sonra maksimum yüksekliğe ulaşıyor ve bırakıldığı andan itibaren toplam 3t03t_0 sürede yere çarpıyor.

Cisim bırakıldığı anda balon da yukarı yönde aa büyüklüğünde sabit ivmeyle hızlanmaya başlıyor. Cisim yere çarptığı anda balonun yerden yüksekliği 6h6h oldu��una göre, balonun ivmesi aa kaç gg'dir?
(Hava direnci önemsizdir. Yer çekimi ivmesi gg sabittir.)

  1. A
    13\frac{1}{3}
  2. B
    23\frac{2}{3}
  3. 11Cevap
  4. D
    53\frac{5}{3}
  5. E
    22

Cevap

Balonun ivmesi 1g1g büyüklüğündedir.
Cismin tepe noktasına ulaşma süresinden ilk hızının v0=gt0v_0 = g t_0 olduğu ve 3t03t_0 sürede yere çarpmasından başlangıç yüksekliğiyle ilişkisinin gt02=23hg t_0^2 = \frac{2}{3} h olduğu bulunur. Balonun 3t03t_0 süre sonundaki konumu 6h6h olarak tanımlandığı için ivmeli hareket denkleminden at02=23ha t_0^2 = \frac{2}{3} h elde edilir. Bu iki bağıntı karşılaştırıldığında balonun ivmesinin yer çekimi ivmesine eşit yani 11 olduğu anlaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Cismin balonun yükselme hızıyla olan ilişkisini belirlemek.
Cisim balona göre serbest bırakıldığında, yerdeki bir gözlemciye göre yukarı doğru v0v_0 ilk hızıyla düşey atış hareketi yapar. Maksimum yüksekliğe ulaşma süresi t0t_0 olduğundan, tepe noktasında hızı sıfır olur: v(t0)=v0−gt0=0  ⟹  v0=gt0v(t_0) = v_0 - g t_0 = 0 \implies v_0 = g t_0.
Cismin başlangıçtaki hareket denklemini kurmak için ilk hızı yer çekimi ivmesi cinsinden ifade edilmelidir.
2
Cismin yere düşme süresini kullanarak başlangıç yüksekliği hh ile gg ve t0t_0 arasındaki bağıntıyı bulmak.
Cisim 3t03t_0 sürede yere çarptığına göre y(3t0)=0y(3t_0) = 0 olur: ycisim(t)=h+v0t−12gt2  ⟹  0=h+3v0t0−92gt02y_{\text{cisim}}(t) = h + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 \implies 0 = h + 3 v_0 t_0 - \frac{9}{2} g t_0^2. Burada v0=gt0v_0 = g t_0 yazılırsa: h+3gt02−4.5gt02=0  ⟹  h=1.5gt02  ⟹  gt02=23hh + 3 g t_0^2 - 4.5 g t_0^2 = 0 \implies h = 1.5 g t_0^2 \implies g t_0^2 = \frac{2}{3} h bulunur.
Cismin uçuş süresinden yararlanarak yükseklik ile zaman parametresi arasındaki ilişkiyi kurmak gerekir.
3
Balonun hareket denklemini kurarak ivmesini hesaplamak.
Balon hh yüksekliğinden başlayarak v0=gt0v_0 = g t_0 ilk hızıyla yukarı doğru aa ivmesiyle hızlanır. 3t03t_0 süre sonra yüksekliği 6h6h olur: ybalon(3t0)=h+v0(3t0)+12a(3t0)2=6h  ⟹  h+3gt02+4.5at02=6hy_{\text{balon}}(3t_0) = h + v_0 (3t_0) + \frac{1}{2} a (3t_0)^2 = 6h \implies h + 3 g t_0^2 + 4.5 a t_0^2 = 6h. gt02=23hg t_0^2 = \frac{2}{3} h değeri yerine yazılırsa: h+2h+4.5at02=6h  ⟹  3h+4.5at02=6h  ⟹  4.5at02=3h  ⟹  at02=23hh + 2h + 4.5 a t_0^2 = 6h \implies 3h + 4.5 a t_0^2 = 6h \implies 4.5 a t_0^2 = 3h \implies a t_0^2 = \frac{2}{3} h bulunur.
Balonun ivmeli hareket bağıntısını zaman ve konum değerleriyle eşleştirmek gerekir.
4
Cisim ve balon için elde edilen bağıntıları oranlamak.
gt02=23hg t_0^2 = \frac{2}{3} h ve at02=23ha t_0^2 = \frac{2}{3} h eşitliklerinden a=ga = g sonucu elde edilir.
Balonun ivmesini yer çekimi ivmesi cinsinden bulmak için bağıntılar karşılaştırılmalıdır.

Anahtar Kavram

Bir boyutta sabit ivmeli hareket yapan cisimlerin hareket denklemlerinin başlangıç koşulları ve yön vektörleri dikkate alınarak analiz edilmesi.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Bir Boyutta Sabit İvmeli Hareket

Bu konudan daha fazla soru