Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için aşağıdaki bilgiler verilmektedir:

* ff fonksiyonunun grafiği koordinat düzleminde K(2,3)K(2, 3) noktasına göre simetriktir.
* gg fonksiyonunun grafiği koordinat düzleminde x=1x = 1 doğrusuna göre simetriktir.
* Her xx gerçek sayısı için f(x)+g(3−x)=x2−2x+5f(x) + g(3-x) = x^2 - 2x + 5 eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, g(f(3))g(f(3)) değeri kaçtır?

Cevap: 18

Cevap

İstenen g(f(3)) ifadesinin değeri 18 olarak bulunur.
Verilen simetri kurallarına göre f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6 ve g(x−1)=g(3−x)g(x-1) = g(3-x) eşitlikleri yazılır. Ana denklemde xx yerine 4−x4-x yazılıp iki denklem taraf tarafa çıkarıldığında f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1 elde edilir. Bu kural ana denklemde yerine yazıldığında g(3−x)=x2−4x+6g(3-x) = x^2 - 4x + 6 bulunur. İstenen g(f(3))g(f(3)) değerinde f(3)=5f(3) = 5 olup, g(5)g(5) değerini hesaplamak için x=−2x = -2 yazıldığında sonuç 18 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonların simetri özelliklerini matematiksel eşitlikler olarak ifade etmek.
f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6 ve g(x−1)=g(3−x)g(x-1) = g(3-x) eşitliklerini elde etmek.
ff fonksiyonunun grafiği K(2,3)K(2,3) noktasına göre simetrik olduğundan her xx için f(2−x)+f(2+x)=2⋅3=6f(2-x) + f(2+x) = 2 \cdot 3 = 6 olur. Burada 2−x2-x yerine xx yazılırsa f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6 elde edilir. gg fonksiyonunun grafiği x=1x=1 doğrusuna göre simetrik olduğundan her xx için g(1−x)=g(1+x)g(1-x) = g(1+x) olur. Burada 1−x1-x yerine x−1x-1 yazılırsa g(x−1)=g(2−(x−1))=g(3−x)g(x-1) = g(2-(x-1)) = g(3-x) elde edilir.
2
Verilen ana denklemde xx yerine 4−x4-x yazarak yeni bir denklem elde etmek.
f(4−x)+g(x−1)=x2−6x+13f(4-x) + g(x-1) = x^2 - 6x + 13 denklemini bulmak.
f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6 ilişkisini kullanabilmek amacıyla ana denklemde değişken değiştirme yapılır. xx yerine 4−x4-x yazıldığında (4−x)2−2(4−x)+5=x2−8x+16−8+2x+5=x2−6x+13(4-x)^2 - 2(4-x) + 5 = x^2 - 8x + 16 - 8 + 2x + 5 = x^2 - 6x + 13 bulunur.
3
gg fonksiyonunun simetri özelliğini kullanarak denklemi düzenlemek ve f(x)f(x) fonksiyonunu bulmak.
f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1 fonksiyonunu bulmak.
g(x−1)=g(3−x)g(x-1) = g(3-x) simetrisi kullanılarak ikinci denklem f(4−x)+g(3−x)=x2−6x+13f(4-x) + g(3-x) = x^2 - 6x + 13 haline getirilir. Bu denklem ilk denklem olan f(x)+g(3−x)=x2−2x+5f(x) + g(3-x) = x^2 - 2x + 5 ifadesinden çıkarıldığında f(x)−f(4−x)=4x−8f(x) - f(4-x) = 4x - 8 elde edilir. Bu eşitlik f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6 ile taraf tarafa toplanarak 2f(x)=4x−2  ⟹  f(x)=2x−12f(x) = 4x - 2 \implies f(x) = 2x - 1 bulunur.
4
f(x)f(x) fonksiyonunu yerine yazarak g(3−x)g(3-x) ifadesini elde etmek ve istenen değeri hesaplamak.
g(f(3))=18g(f(3)) = 18 değerini elde etmek.
f(x)+g(3−x)=x2−2x+5f(x) + g(3-x) = x^2 - 2x + 5 denkleminde f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1 yazılırsa g(3−x)=x2−4x+6g(3-x) = x^2 - 4x + 6 olur. İstenen değer g(f(3))g(f(3)) olup öncelikle f(3)=2(3)−1=5f(3) = 2(3) - 1 = 5 hesaplanır. g(5)g(5) değerini bulmak için 3−x=5  ⟹  x=−23-x=5 \implies x=-2 yazılarak g(5)=(−2)2−4(−2)+6=18g(5) = (-2)^2 - 4(-2) + 6 = 18 bulunur.

Anahtar Kavram

Noktaya ve doğruya göre simetri dönüşümlerinin fonksiyon denklemleri üzerindeki cebirsel etkileri.
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri

Bu konudan daha fazla soru