Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=1−2sin⁡(x)cos⁡(x)a = \sqrt{1 - 2\sin(x)\cos(x)}
b=cos⁡4(x)−sin⁡4(x)sin⁡(x)−cos⁡(x)b = \frac{\cos^4(x) - \sin^4(x)}{\sin(x) - \cos(x)}
c=tan⁡(x)−cot⁡(x)sec⁡(x)csc⁡(x)c = \frac{\tan(x) - \cot(x)}{\sec(x)\csc(x)}

ifadeleri tanımlanıyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    b<a<cb < a < c
  2. B
    c<b<ac < b < a
  3. C
    a<b<ca < b < c
  4. b<c<ab < c < aCevap
  5. E
    c<a<bc < a < b

Cevap

b<c<ab < c < a
Verilen tanım aralığında aa ifadesi sin⁡(x)−cos⁡(x)>1\sin(x) - \cos(x) > 1 olarak pozitif çıkar, bb ifadesi −(sin⁡(x)+cos⁡(x))<0-(\sin(x) + \cos(x)) < 0 olarak negatif çıkar, cc ifadesi ise sin⁡2(x)−cos⁡2(x)∈(0,1)\sin^2(x) - \cos^2(x) \in (0, 1) olarak pozitif fakat 11'den küçük çıkar. Bu durumda b<c<ab < c < a sıralaması elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ifadesini özdeşlikler yardımıyla sadeleştirelim.
a=sin⁡(x)−cos⁡(x)a = \sin(x) - \cos(x) ve a∈(1,2)a \in (1, \sqrt{2})
1−2sin⁡(x)cos⁡(x)=sin⁡2(x)+cos⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)=(sin⁡(x)−cos⁡(x))21 - 2\sin(x)\cos(x) = \sin^2(x) + \cos^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) = (\sin(x) - \cos(x))^2 olur. Kareköklü ifade dışarıya mutlak değerle çıkar: a=∣sin⁡(x)−cos⁡(x)∣a = |\sin(x) - \cos(x)|. Verilen x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında (ikinci bölge) sin⁡(x)>0\sin(x) > 0 ve cos⁡(x)<0\cos(x) < 0 olduğundan sin⁡(x)−cos⁡(x)>0\sin(x) - \cos(x) > 0 olur. Bu yüzden mutlak değer dışına aynen çıkar. Bu aralıkta sin⁡(x)>−cos⁡(x)>0\sin(x) > -\cos(x) > 0 olduğundan sin⁡(x)−cos⁡(x)>1\sin(x) - \cos(x) > 1 olur.
2
bb ifadesini sadeleştirelim.
b=−(sin⁡(x)+cos⁡(x))b = -(\sin(x) + \cos(x)) ve b∈(−1,0)b \in (-1, 0)
cos⁡4(x)−sin⁡4(x)=(cos⁡2(x)−sin⁡2(x))(cos⁡2(x)+sin⁡2(x))=(cos⁡(x)−sin⁡(x))(cos⁡(x)+sin⁡(x))\cos^4(x) - \sin^4(x) = (\cos^2(x) - \sin^2(x))(\cos^2(x) + \sin^2(x)) = (\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x)) olur. Paydadaki sin⁡(x)−cos⁡(x)\sin(x) - \cos(x) ile sadeleştiğinde başa eksi gelir: b=−(sin⁡(x)+cos⁡(x))b = -(\sin(x) + \cos(x)). İkinci bölgenin ilk yarısında sin⁡(x)>∣cos⁡(x)∣\sin(x) > |\cos(x)| olduğundan sin⁡(x)+cos⁡(x)>0\sin(x) + \cos(x) > 0 olur, dolayısıyla b<0b < 0 elde edilir.
3
cc ifadesini sadeleştirelim.
c=sin⁡2(x)−cos⁡2(x)c = \sin^2(x) - \cos^2(x) ve c∈(0,1)c \in (0, 1)
Pay kısmında tan⁡(x)−cot⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)−cos⁡(x)sin⁡(x)=sin⁡2(x)−cos⁡2(x)sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x) - \cot(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} - \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} yazılır. Paydadaki sec⁡(x)csc⁡(x)=1sin⁡(x)cos⁡(x)\sec(x)\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} ile bölündüğünde paydalar sadeleşir ve c=sin⁡2(x)−cos⁡2(x)c = \sin^2(x) - \cos^2(x) kalır. sin⁡(x)>∣cos⁡(x)∣\sin(x) > |\cos(x)| olduğundan sin⁡2(x)>cos⁡2(x)\sin^2(x) > \cos^2(x) olur ve c>0c > 0 bulunur. Değeri 11'den küçüktür.
4
Elde edilen değerleri karşılaştırarak sıralayalım.
b<c<ab < c < a
b<0b < 0, 0<c<10 < c < 1 ve a>1a > 1 olduğundan, doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşlikler kullanılarak karmaşık ifadelerin sadeleştirilmesi ve belirli bir aralıkta trigonometrik değerlerin işaret ve büyüklük analizine göre sıralanması.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru