Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
a=sin⁡(19π12)b=cos⁡(11π10)c=tan⁡(13π9)d=cot⁡(23π18)\begin{aligned} a &= \sin\left(\frac{19\pi}{12}\right) \\ b &= \cos\left(\frac{11\pi}{10}\right) \\ c &= \tan\left(\frac{13\pi}{9}\right) \\ d &= \cot\left(\frac{23\pi}{18}\right) \end{aligned}

olduğuna göre; aa, bb, cc ve dd değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1aa
  2. 2bb
  3. 3dd
  4. 4cc

Cevap

Verilen sayıların küçükten büyüğe doğru doğru sıralanışı a<b<d<ca < b < d < c şeklindedir.
Verilen ifadeler birinci bölgeye indirgendiğinde negatif olanlar a=−cos⁡(15∘)a = -\cos(15^\circ) ve b=−cos⁡(18∘)b = -\cos(18^\circ) olarak elde edilir. Birinci bölgede kosinüs fonksiyonu azalan olduğundan cos⁡(15∘)>cos⁡(18∘)\cos(15^\circ) > \cos(18^\circ) olur. Buradan negatif halleri kıyaslandığında a<ba < b sonucu çıkar. Pozitif olan ifadeler ise d=tan⁡(40∘)d = \tan(40^\circ) ve c=tan⁡(80∘)c = \tan(80^\circ) şeklindedir. Birinci bölgede tanjant fonksiyonu artan olduğundan ve tan⁡(45∘)=1\tan(45^\circ) = 1 referans alındığında d<1<cd < 1 < c bulunur. Negatif değerler pozitiflerden daima küçük olduğundan sıralama a<b<d<ca < b < d < c olarak netleşir.

Adım Adım Çözüm

1
Açıların birim çember üzerindeki bölgelerini ve fonksiyonların bu bölgelerdeki işaretlerini belirleyiniz.
19π12\frac{19\pi}{12} açısı 4. bölgededir, sinüs değeri negatiftir (a<0a < 0). 11π10\frac{11\pi}{10} açısı 3. bölgededir, kosinüs değeri negatiftir (b<0b < 0). 13π9\frac{13\pi}{9} açısı 3. bölgededir, tanjant değeri pozitiftir (c>0c > 0). 23π18\frac{23\pi}{18} açısı 3. bölgededir, kotanjant değeri pozitiftir (d>0d > 0).
Sıralama yaparken negatif ve pozitif değerleri kendi aralarında gruplandırmak karşılaştırmayı kolaylaştırır.
2
Verilen trigonometrik ifadeleri indirgeme formülleri yardımıyla birinci bölgedeki dar açılar cinsinden yazınız.
a=sin⁡(3π2+π12)=−cos⁡(π12)=−cos⁡(15∘)a = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = -\cos(15^\circ),
b=cos⁡(π+π10)=−cos⁡(π10)=−cos⁡(18∘)b = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{10}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{10}\right) = -\cos(18^\circ),
c=tan⁡(π+4π9)=tan⁡(4π9)=tan⁡(80∘)c = \tan\left(\pi + \frac{4\pi}{9}\right) = \tan\left(\frac{4\pi}{9}\right) = \tan(80^\circ),
d=cot⁡(π+5π18)=cot⁡(5π18)=cot⁡(50∘)=tan⁡(40∘)d = \cot\left(\pi + \frac{5\pi}{18}\right) = \cot\left(\frac{5\pi}{18}\right) = \cot(50^\circ) = \tan(40^\circ).
Tüm ifadeleri birinci bölgeye taşımak, büyüklük kıyaslaması yapmayı standartlaştırır.
3
Elde edilen dar açılı değerleri negatif ve pozitif gruplar halinde kendi aralarında sıralayınız.
Birinci bölgede açılar büyüdükçe kosinüs azaldığından cos⁡(15∘)>cos⁡(18∘)\cos(15^\circ) > \cos(18^\circ) olur. Eksi ile çarptığımızda −cos⁡(15∘)<−cos⁡(18∘)-\cos(15^\circ) < -\cos(18^\circ) elde edilir, yani a<ba < b'dir.
Pozitif değerler için, birinci bölgede açılar büyüdükçe tanjant değeri artar. tan⁡(40∘)<tan⁡(45∘)=1<tan⁡(80∘)\tan(40^\circ) < \tan(45^\circ) = 1 < \tan(80^\circ) olduğundan d<1<cd < 1 < c elde edilir.
Negatif sayıların mutlak değerce büyük olanının daha küçük olduğu gerçeği ile birinci bölgedeki artan/azalan fonksiyon özelliklerini birleştirerek nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre işaretlerinin belirlenmesi ve açıların indirgenerek birinci bölgede sıralanması
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru