Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTekrarlı Permütasyon

Analitik düzlemde sadece sağa (pozitif xx yönünde) ve yukarı (pozitif yy yönünde) birer birimlik adımlarla hareket edebilen bir robot, A(0,0)A(0,0) noktasından yola çıkıp C(2,2)C(2,2) noktasına uğrayarak B(5,4)B(5,4) noktasına ulaşacaktır. Buna göre, bu robot AA noktasından BB noktasına kaç farklı rota izleyerek gidebilir?

Cevap: 60 rota

Cevap

Robot, A noktasından B noktasına 60 farklı rota izleyerek gidebilir.
Robotun A'dan C'ye gitmesi için 2 sağ, 2 yukarı hareketi sıralanmalıdır. Bu durum 4!2!2!=6\frac{4!}{2!2!} = 6 farklı yolla yapılabilir. C'den B'ye gitmesi için ise 3 sağ, 2 yukarı hareketi sıralanmalıdır. Bu durum da 5!3!2!=10\frac{5!}{3!2!} = 10 farklı yolla yapılabilir. Çarpma kuralı gereğince toplam yol sayısı 6×10=606 \times 10 = 60 olur.

Adım Adım Çözüm

1
A(0,0) noktasından C(2,2) noktasına giden yolların sayısını hesaplama
6 farklı yol
A'dan C'ye gitmek için 2 birim sağa ve 2 birim yukarı olmak üzere toplam 4 adım atılmalıdır. Bu adımların farklı sıralanışları tekrarlı permütasyonla 4!2!⋅2!=6\frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6 olur.
2
C(2,2) noktasından B(5,4) noktasına giden yolların sayısını hesaplama
10 farklı yol
C'den B'ye gitmek için 3 birim sağa (5-2=3) ve 2 birim yukarı (4-2=2) olmak üzere toplam 5 adım atılmalıdır. Bu adımların farklı sıralanışları tekrarlı permütasyonla 5!3!⋅2!=10\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10 olur.
3
Toplam farklı rota sayısını bulmak için çarpım kuralını uygulama
60 farklı rota
A'dan C'ye ve C'den B'ye yapılan hareketler ardışık ve bağımlı eylemler olduğundan, bu iki durumun yol sayıları çarpılır: 6×10=606 \times 10 = 60.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon yardımıyla ızgara üzerindeki en kısa yol problemlerinin çözümü.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tekrarlı Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru