Examkin

Soru

Zorluk: ZorKombinasyon

S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinin elemanları toplamı 3 ile tam bölünür ve elemanlarının çarpımı bir çift sayıdır?

Cevap: 160

Cevap

Seçilen 4 elemanının toplamı 3 ile tam bölünen ve çarpımı bir çift sayı olan alt küme sayısı 160'tır.
Toplamı 3 ile tam bölünen tüm 4 elemanlı alt kümelerin sayısı 165'tir. Bu kümeler arasından elemanlarının tamamı tek sayılardan oluşan (ve dolayısıyla çarpımları tek sayı olan) 5 küme çıkarıldığında, geriye kalan 160 alt kümenin elemanları toplamı 3'e tam bölünür ve en az bir çift sayı içerdiklerinden çarpımları çift sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümenin elemanlarını 3 ile bölümünden kalanlarına göre R0={3,6,9,12}R_0 = \{3, 6, 9, 12\}, R1={1,4,7,10}R_1 = \{1, 4, 7, 10\} ve R2={2,5,8,11}R_2 = \{2, 5, 8, 11\} olmak üzere üç gruba ayırıp eleman sayılarını belirlemek.
Her grupta 4 eleman bulunur (∣R0∣=∣R1∣=∣R2∣=4|R_0| = |R_1| = |R_2| = 4).
Seçilecek sayıların toplamının 3 ile bölümünden kalanı, bu sayıların kendi kalanlarının toplamı üzerinden analiz etmek için.
2
Toplamı 3 ile tam bölünen 4 elemanlı seçimlerin durumlarını (a,b,c)(a, b, c) şeklinde (sırasıyla R0,R1,R2R_0, R_1, R_2 gruplarından seçilen eleman sayıları) analiz edip kombinasyonlarını toplamak.
1 + 96 + 36 + 16 + 16 = 165 farklı seçim belirlenir.
a+b+c=4a+b+c = 4 ve b+2c≡0(mod3)b+2c \equiv 0 \pmod 3 koşullarını sağlayan durumları tek tek bulup kombinasyon sayılarını hesaplamak için.
3
Çarpımı tek sayı olan (yani tamamı tek sayılardan oluşan) ve toplamları 3 ile bölünen alt kümelerin sayısını hesaplamak.
5 farklı istenmeyen seçim bulunur.
Çarpımın çift olması için en az bir çift sayının seçilmesi gerektiğinden, tüm elemanları tek olan istenmeyen durumları tüm durumlardan çıkarmak için.
4
Toplam durum sayısından, sadece tek sayılardan oluşan istenmeyen durum sayısını çıkarmak.
165 - 5 = 160.
İstenen koşulları sağlayan (toplamı 3'e bölünen ve en az bir çift sayı barındıran) alt küme sayısını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) ve Kalan Sınıfları Yardımıyla Sayma
Bu soruyu puanla

Konular

Kombinasyon

Bu konudan daha fazla soru