A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinin … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}

kümesinin

4

elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları toplamı tek sayıdır ve en az bir asal sayı içerir?

Cevap: 92 adet

Cevap

Koşulları sağlayan alt küme sayısı 92'dir.

Toplamı tek olan tüm 4 elemanlı alt kümelerin sayısı (100) ile hiç asal sayı barındırmayan ve toplamı tek olan alt kümelerin sayısı (8) arasındaki fark alınarak en az bir asal içeren ve toplamı tek olan küme sayısı 92 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

Kümenin elemanlarını özelliklerine göre ayırın.

Asal sayılar:

\{2, 3, 5, 7\}

(4 adet)
Asal olmayan sayılar:

\{1, 4, 6, 8, 9, 10\}

(6 adet)
Tek sayılar:

\{1, 3, 5, 7, 9\}

(5 adet)
Çift sayılar:

\{2, 4, 6, 8, 10\}

(5 adet)

Kombinasyon seçimlerinde teklik-çiftlik ve asallık koşullarını ayrı ayrı uygulayabilmek için.

Toplamın tek sayı olma koşulunu analiz edin.

Toplamın tek olması için kümede tek sayıda tek sayı bulunmalıdır. 4 elemanlı küme için bu durumlar: (1 Tek, 3 Çift) veya (3 Tek, 1 Çift) şeklindedir.

Çift sayıda tek sayının toplamı çift, tek sayıda tek sayının toplamı tek olduğundan.

Koşulsuz olarak toplamı tek olan tüm 4 elemanlı alt kümelerin sayısını hesaplayın.

- 1 Tek ve 3 Çift seçimi:

\binom{5}{1} \times \binom{5}{3} = 5 \times 10 = 50

- 3 Tek ve 1 Çift seçimi:

\binom{5}{3} \times \binom{5}{1} = 10 \times 5 = 50

Toplam =

50 + 50 = 100

durum.

Toplamı tek olan tüm olası durumları bulmak için.

Hiç asal sayı içermeyen ve toplamı tek olan alt kümeleri (istenmeyen durumları) hesaplayın.

Asal olmayan tek sayılar:

\{1, 9\}

(2 adet)
Asal olmayan çift sayılar:

\{4, 6, 8, 10\}

(4 adet)
- 1 Tek (asal olmayan) ve 3 Çift (asal olmayan) seçimi:

\binom{2}{1} \times \binom{4}{3} = 2 \times 4 = 8

- 3 Tek (asal olmayan) ve 1 Çift (asal olmayan) seçimi:

\binom{2}{3} \times \binom{4}{1} = 0

Toplam =

8 + 0 = 8

durum.

Tüm durumlardan bu istenmeyen durumları çıkararak en az bir asal sayı içerenleri bulmak için.

İstenen durum sayısını bulmak için çıkarma işlemini yapın.

100 - 8 = 92

Tüm toplamı tek olan durumlardan, içinde hiç asal bulunmayan durumları çıkararak en az bir asal sayı içeren durumları bulmak için.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (seçme) kullanarak belirli özelliklere (teklik/çiftlik, asallık) sahip alt kümelerin sayısını hesaplama.

Alternatif Yöntem

Doğrudan çözüm yöntemi: İstenen koşulu sağlayan durumları asal sayıların dağılımına göre gruplayarak toplayabiliriz. 1) Kümede sadece 2 (çift asal) olup tek olan asalların olmadığı durumlar, 2) Kümede tek olan asalların olup 2'nin olmadığı durumlar, 3) Hem 2'nin hem de tek asalların olduğu durumlar ayrı ayrı hesaplanıp toplanarak da 92 sonucuna ulaşılabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru