Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSinüs Teoremi

Bir ABCABC üçgeninde DD noktası [BC][BC] kenarı üzerindedir.

m(BAD^)=30∘m(\widehat{BAD}) = 30^\circ,
m(DAC^)=90∘m(\widehat{DAC}) = 90^\circ ve
∣CD∣=4∣BD∣|CD| = 4|BD|

olduğuna göre, sin⁡(ABC^)sin⁡(ACB^)\frac{\sin(\widehat{ABC})}{\sin(\widehat{ACB})} oranı kaçtır?

Cevap: 2

Cevap

İstenen oran 2'dir.
ABDABD üçgeninde Sinüs Teoremi uygulandığında ∣AD∣=2∣BD∣sin⁡(ABC^)|AD| = 2|BD|\sin(\widehat{ABC}) elde edilir. ADCADC dik üçgeninde sinüs tanımından ∣AD∣=∣CD∣sin⁡(ACB^)|AD| = |CD|\sin(\widehat{ACB}) bulunur. Bu iki eşitlik birleştirilip ∣CD∣=4∣BD∣|CD| = 4|BD| yazıldığında 2∣BD∣sin⁡(ABC^)=4∣BD∣sin⁡(ACB^)2|BD|\sin(\widehat{ABC}) = 4|BD|\sin(\widehat{ACB}) olur. Buradan sadeleştirmeler yapıldığında oran 2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ABDABD üçgeninde Sinüs Teoremi'ni uygulamak
∣AD∣=2∣BD∣sin⁡(ABC^)|AD| = 2|BD|\sin(\widehat{ABC})
ADAD ortak kenarını BDBD ve BB açısı cinsinden ifade etmek için
2
ADCADC dik üçgeninde sinüs oranını yazmak
∣AD∣=∣CD∣sin⁡(ACB^)|AD| = |CD|\sin(\widehat{ACB})
ADAD ortak kenarını CDCD ve CC açısı cinsinden ifade etmek için
3
İki üçgenden elde edilen ADAD uzunluklarını eşitlemek ve verilen oranı yerine yazmak
2∣BD∣sin⁡(ABC^)=4∣BD∣sin⁡(ACB^)2|BD|\sin(\widehat{ABC}) = 4|BD|\sin(\widehat{ACB})
BDBD ve CDCD arasındaki ilişkiyi kullanarak denklemdeki değişken sayısını azaltmak için
4
∣BD∣|BD| terimlerini sadeleştirip istenen oranı bulmak
sin⁡(ABC^)sin⁡(ACB^)=2\frac{\sin(\widehat{ABC})}{\sin(\widehat{ACB})} = 2
İstenen trigonometrik oranı yalnız bırakmak için

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve dik üçgende trigonometrik oranların geometrik uygulamaları
Bu soruyu puanla

Konular

Sinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru