Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKombinasyon

Aynı düzlemde bulunan 8 doğrudan 4 tanesi birbirine paralel, geri kalanlardan 3 tanesi ise bir AA noktasından geçmektedir.

Buna göre, bu doğruların en çok kaç farklı kesişim noktası olabilir?

  1. A
    19
  2. 20Cevap
  3. C
    21
  4. D
    22
  5. E
    40

Cevap

En çok 20 farklı kesişim noktası olabilir.
Herhangi bir kısıtlama olmasaydı 8 doğru en çok 28 noktada kesişirdi. Paralel 4 doğrudan dolayı 6 nokta, tek noktada kesişen 3 doğrudan dolayı ise 2 nokta kaybedilir. Böylece en çok 28 - 6 - 2 = 20 kesişim noktası elde edilir. Bu nedenle doğru cevap 20 değerini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Kısıtlamasız durumdaki maksimum kesişim sayısı hesaplanır.
(82)=8×72=28\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28
Herhangi iki doğru en çok bir noktada kesişebileceği için 8 doğrudan seçilecek her iki doğru bir kesişim noktası belirtir.
2
Paralel olan 4 doğrunun oluşturduğu kesişim kaybı hesaplanır.
(42)=6\binom{4}{2} = 6
Paralel doğrular birbirini kesmeyeceğinden, bu 4 doğrunun kendi arasındaki kesişim noktaları toplam sayıdan düşülmelidir.
3
A noktasından geçen 3 doğrunun oluşturduğu kesişim kaybı hesaplanır.
(32)−1=3−1=2\binom{3}{2} - 1 = 3 - 1 = 2
Aynı noktadan geçen 3 doğru normalde 3 farklı noktada kesişebilecekken sadece 1 noktada (A noktasında) kesişirler. Dolayısıyla kesişim kaybı 2 olur.
4
Kayıplar kısıtlamasız durumdan çıkarılarak net sonuç bulunur.
28−6−2=2028 - 6 - 2 = 20
Paralel doğruların kaybı (6) ve noktadaş doğruların kaybı (2) toplam olasılıktan çıkarılarak maksimum kesişim sayısı elde edilir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon yardımıyla doğruların kesişim noktası sayısının hesaplanması
Bu soruyu puanla

Konular

Kombinasyon

Bu konudan daha fazla soru