Examkin

Soru

Zorluk: Zorİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
(x−2)2(x2−2x−8)x2−36≤0\frac{(x - 2)^2 (x^2 - 2x - 8)}{x^2 - 36} \leq 0
x2−3x−10x−5≥0\frac{x^2 - 3x - 10}{x - 5} \geq 0

yukarıda verilen eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevap: 4

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının toplamı 4'tür.
Sistemin ortak çözüm kümesindeki tam sayılar -2, 2 ve 4'tür. Bunların toplamı 4 yapar. x = 2 çift katlı kökü birinci eşitsizliği sağladığı ve ikinci eşitsizliğin tanım kümesinde olduğu için çözüme dahil edilirken; x = 5 değeri payda kökü olduğu için hariç tutulur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin pay ve paydasındaki ifadelerin kökleri belirlenir.
Payın kökleri x = 2 (çift katlı), x = 4 ve x = -2; paydanın kökleri x = 6 ve x = -6 (payda kökleri çözüm kümesine dahil edilmez).
Eşitsizlik işaret tablosu oluşturmak için kritik noktaları belirlemek gerekir.
2
Birinci eşitsizlik için işaret tablosu yapılarak çözüm kümesi bulunur.
Çözüm kümesi S1 = (-6, -2] U {2} U [4, 6) olarak elde edilir.
İfadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralıkları ve değerleri belirlemek amaçlanır. Çift katlı kök olan x = 2 değeri ifadeyi sıfır yaptığı için çözüm kümesine tek nokta olarak eklenmelidir.
3
İkinci eşitsizlik çarpanlarına ayrılır ve sadeleştirilir.
x != 5 kısıtı altında x + 2 >= 0 eşitsizliği elde edilir ve S2 = [-2, 5) U (5, sonsuz) bulunur.
Ortak çarpanları sadeleştirirken paydanın sıfır olamayacağı (x != 5) kuralı unutulmamalıdır.
4
S1 ve S2 çözüm kümelerinin kesişim kümesi oluşturulur.
Kesişim kümesi S = {-2, 2} U [4, 5) U (5, 6) olur.
Eşitsizlik sisteminin çözümü, her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan değerlerin kümesidir.
5
Kesişim kümesindeki tam sayılar belirlenir ve toplanır.
Tam sayılar: -2, 2 ve 4. Toplam: (-2) + 2 + 4 = 4.
Eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının toplamını bulmak hedeflenmektedir.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri