Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKosinüs Teoremi

Bir ABCDABCD paralelkenarında ∣AB∣=8 birim|AB| = 8\text{ birim}, ∣AD∣=6 birim|AD| = 6\text{ birim} ve m(BAD^)=120∘m(\widehat{BAD}) = 120^\circ dir.
[AB][AB] kenarı üzerinde ∣AE∣=3 birim|AE| = 3\text{ birim} olacak şekilde bir EE noktası, [AD][AD] kenarı üzerinde ise ∣AF∣=5 birim|AF| = 5\text{ birim} olacak şekilde bir FF noktası belirleniyor.

Buna göre, EE ve FF noktaları arasındaki uzaklık (∣EF∣|EF|) kaç birimdir?

Cevap: 7 birim

Cevap

E ve F noktaları arasındaki uzaklık 7 birimdir.
E ve F noktaları arasındaki uzaklık Kosinüs Teoremi kullanılarak 7 birim olarak bulunur. Geniş açının kosinüsü olan cos⁡(120∘)=−1/2\cos(120^\circ) = -1/2 değerinin işareti doğru uygulandığında ∣EF∣2=32+52−2(3)(5)(−1/2)=49|EF|^2 = 3^2 + 5^2 - 2(3)(5)(-1/2) = 49 eşitliğinden doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
AEFAEF üçgenindeki tepe açısının belirlenmesi
m(EAF^)=120∘m(\widehat{EAF}) = 120^\circ
EE ve FF noktaları sırasıyla [AB][AB] ve [AD][AD] kenarları üzerinde olduğundan EAF^\widehat{EAF} açısı, paralelkenarın BAD^\widehat{BAD} açısı ile aynıdır.
2
Kosinüs Teoremi formülünün yazılması ve değerlerin yerine konulması
∣EF∣2=32+52−2⋅3⋅5⋅cos⁡(120∘)|EF|^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ)
Bir üçgende iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açı bilindiğinde karşı kenarı bulmak için Kosinüs Teoremi uygulanır.
3
Hesaplamanın tamamlanarak ∣EF∣|EF| değerinin bulunması
∣EF∣=7|EF| = 7
cos⁡(120∘)=−12\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} değeri yerine yazılarak ∣EF∣2=49|EF|^2 = 49 elde edilir ve karekökü alınır.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi yardımıyla iki kenarı ve aralarındaki açısı bilinen üçgende üçüncü kenar uzunluğunun hesaplanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Kosinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru