Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSabit ve Eşit Diziler
(an)(a_n) terimleri gerçel sayı olan sabit bir dizi olmak üzere, her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için genel terimi
an=m⋅n2−(k−3)n+15n2−8n+pa_n = \frac{m \cdot n^2 - (k-3)n + 15}{n^2 - 8n + p}
biçiminde tanımlanıyor.

m,km, k ve pp birer tam sayı olduğuna göre, mm'nin alabileceği en büyük değer için k+pk + p toplamı kaçtır?

Cevap: 124

Cevap

m'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri 15 olup, bu değer için k = 123 ve p = 1'dir. Buradan k + p toplamı 124 olarak bulunur.
Sabit dizi koşulu gereğince değişkenlerin katsayıları oranlanarak m, k, p arasındaki ilişkiler bulunur. Ayrıca dizinin her n pozitif tam sayısı için tanımlı olabilmesi amacıyla paydanın köklerinin pozitif tam sayı olmaması gerektiği tespit edilir. Bu koşulları sağlayan en büyük m tam sayısı 15 olarak belirlenir ve bu değer için k = 123, p = 1 bulunarak toplam 124 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Sabit dizi tanımını kullanarak pay ve paydadaki terimlerin katsayılarını oranlama.
m1=−(k−3)−8=15p=C\frac{m}{1} = \frac{-(k-3)}{-8} = \frac{15}{p} = C eşitliği elde edilir. Buradan m=Cm = C, k=8m+3k = 8m + 3 ve p=15mp = \frac{15}{m} bağıntıları bulunur.
Bir rasyonel ifadenin sabit dizi belirtmesi için dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları oranının sabit bir gerçel sayıya eşit olması gerekir.
2
Tam sayı koşullarını inceleyerek m'nin alabileceği olası değerleri listeleme.
mm ve pp tam sayı olduğundan mm, 1515'in bir tam sayı böleni olmalıdır. O halde m∈{−15,−5,−3,−1,1,3,5,15}m \in \{-15, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 15\} olabilir.
p=15mp = \frac{15}{m} ifadesinde pp ve mm tam sayı olduğundan, mm değeri 1515'i tam bölmelidir.
3
Tanım kümesi koşulunu inceleyerek paydayı sıfır yapan pozitif tam sayıları belirleme.
Payda D(n)=n2−8n+pD(n) = n^2 - 8n + p ifadesidir. D(n)=0D(n) = 0 denkleminin kökleri pozitif tam sayılar ise, kökler toplamı n1+n2=8n_1 + n_2 = 8 ve kökler çarpımı n1n2=pn_1 n_2 = p olur. Bu koşulu sağlayan pozitif tam sayı kök çiftleri ve bunlara karşılık gelen pp değerleri şunlardır:
- n∈{1,7}  ⟹  p=7n \in \{1, 7\} \implies p = 7
- n∈{2,6}  ⟹  p=12n \in \{2, 6\} \implies p = 12
- n∈{3,5}  ⟹  p=15n \in \{3, 5\} \implies p = 15
- n∈{4,4}  ⟹  p=16n \in \{4, 4\} \implies p = 16
Dolayısıyla p∈{7,12,15,16}p \in \{7, 12, 15, 16\} durumlarında dizi bazı n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ değerleri için tanımsız olur.
Dizinin terimlerinin birer gerçel sayı belirtebilmesi için paydanın hiçbir pozitif tam sayı nn değeri için sıfır olmaması gerekir.
4
Bulunan olası mm değerlerini kontrol etme ve en büyük geçerli mm'yi belirleme.
mm değerlerinin en büyüğü olan m=15m = 15 için p=1p = 1 olur. 1∉{7,12,15,16}1 \notin \{7, 12, 15, 16\} olduğundan m=15m = 15 geçerlidir. (Eğer en büyük bölen olarak m=1m = 1 seçilseydi p=15p = 15 olurdu ve bu durum diziyi n=3n=3 ile n=5n=5 değerlerinde tanımsız yapardı).
mm'nin alabileceği en büyük değeri bulmak için bölenler büyükten küçüğe doğru test edilir.
5
Seçilen m=15m = 15 değeri için kk ve pp değerlerini bulup toplamı hesaplama.
m=15m = 15 için:
p=1515=1p = \frac{15}{15} = 1
k=8(15)+3=123k = 8(15) + 3 = 123
Buradan k+p=123+1=124k + p = 123 + 1 = 124 elde edilir.
Soruda istenen k+pk + p toplamını hesaplamak.

Anahtar Kavram

Sabit dizilerde katsayılar oranı ve rasyonel dizilerde paydanın pozitif tam sayılar kümesinde sıfırdan farklı olması (tanımlılık) koşulu.
Bu soruyu puanla

Konular

Sabit ve Eşit Diziler

Bu konudan daha fazla soru