Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Dik koordinat düzleminde,

f(x)=x3−3x2−6x+2f(x) = x^3 - 3x^2 - 6x + 2

eğrisinin teğetlerinden eğimi en küçük olan teğet doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

Cevap: 3

Cevap

Eğriye çizilen teğetler arasında eğimi en küçük olan doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı 3'tür.
Verilen fonksiyonun türevi f′(x)=3x2−6x−6f'(x) = 3x^2 - 6x - 6 olarak bulunur. Bu fonksiyon teğetlerin eğimini temsil eden kolları yukarı doğru bir paraboldür ve minimum değerini tepe noktasında yani x=1x = 1 noktasında alır. x=1x = 1 için teğet noktası (1,−6)(1, -6) ve bu noktadaki teğet doğrusunun eğimi m=−9m = -9 olur. Denklemi yazıldığında y−(−6)=−9(x−1)  ⟹  y=−9x+3y - (-6) = -9(x - 1) \implies y = -9x + 3 doğrusu elde edilir. Bu doğrunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı ise 3 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrinin teğetlerinin eğimini veren türev fonksiyonunu bulun.
f′(x)=3x2−6x−6f'(x) = 3x^2 - 6x - 6
Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevinin değerine eşittir.
2
Türev fonksiyonunun minimum değerini aldığı x apsis değerini tepe noktası formülüyle belirleyin.
x=1x = 1
f′(x)f'(x) fonksiyonu kolları yukarı doğru olan bir parabol belirttiği için minimum değerini tepe noktasında (r=−b/2ar = -b / 2a) alır.
3
Teğet noktasının koordinatlarını ve teğet doğrusunun eğimini hesaplayın.
Teğet noktası (1,−6)(1, -6) ve teğet doğrusunun eğimi m=−9m = -9
Teğet noktasının y koordinatı orijinal fonksiyonda x=1x = 1 yazılarak, eğim ise türev fonksiyonunda x=1x = 1 yazılarak bulunur.
4
Teğet doğrusunun denklemini oluşturun ve y eksenini kestiği ordinat değerini bulun.
Doğru denklemi y=−9x+3y = -9x + 3 ve y eksenini kestiği ordinat 33
Noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi formülü kullanılarak teğet denklemi elde edilir. Bu denklemde x=0x = 0 yazıldığında doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı bulunur.

Anahtar Kavram

Bir eğrinin üzerindeki bir noktadaki teğetinin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevidir. ��kinci dereceden türev fonksiyonunun en küçük değerini aldığı nokta tepe noktası yardımıyla bulunarak minimum eğimli teğet doğrusu belirlenir.
Bu soruyu puanla

Konular

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Bu konudan daha fazla soru