Examkin

Soru

Zorluk: OrtaArtan ve Azalan Fonksiyonlar
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu daima artan, gg fonksiyonu ise daima azalandır.
f(3)=g(3)f(3) = g(3)
olduğuna göre,
I. f(4)>g(4)f(4) > g(4)
II. f(x)−g(x)f(x) - g(x) fonksiyonu daima artandır.
III. f(x)+g(x)f(x) + g(x) fonksiyonu daima artandır.
ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?
  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IICevap
  4. D
    II ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

I ve II ifadeleri kesinlikle doğrudur.
Doğru seçenekte yer alan birinci öncül, artan ve azalan fonksiyonların tanımları gereği f(4)>f(3)=g(3)>g(4)f(4) > f(3) = g(3) > g(4) sıralamasıyla kesin olarak doğrulanır. İkinci öncül ise, herhangi x1<x2x_1 < x_2 için f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2) ve −g(x1)<−g(x2)-g(x_1) < -g(x_2) eşitsizliklerinin taraf tarafa toplanmasıyla f(x)−g(x)f(x) - g(x) fark fonksiyonunun daima artan olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonların artanlık ve azalanlık tanımlarını kullanarak birinci öncülü analiz edin.
ff fonksiyonu daima artan olduğundan, 4>34 > 3 için f(4)>f(3)f(4) > f(3) elde edilir. gg fonksiyonu daima azalan olduğundan, 4>34 > 3 için g(4)<g(3)g(4) < g(3) elde edilir.
Artan fonksiyonlarda tanım kümesindeki elemanlar büyüdükçe görüntüleri de büyür; azalan fonksiyonlarda ise elemanlar büyüdükçe görüntüleri küçülür.
2
Verilen eşitliği kullanarak elde edilen eşitsizlikleri birleştirin.
f(3)=g(3)f(3) = g(3) olduğundan, f(4)>f(3)=g(3)>g(4)  ⟹  f(4)>g(4)f(4) > f(3) = g(3) > g(4) \implies f(4) > g(4) elde edilir. Dolayısıyla birinci öncül kesinlikle doğrudur.
Her iki fonksiyonun x=3x = 3 noktasındaki değerlerinin eşit olması, bu noktadan sonraki değerlerin kıyaslanmasını sağlar.
3
İki fonksiyonun farkı olan h(x)=f(x)−g(x)h(x) = f(x) - g(x) fonksiyonunun artanlığını tanım kullanarak inceleyin.
Herhangi x1<x2x_1 < x_2 gerçel sayıları için; ff artan olduğundan f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2) olur. gg azalan olduğundan g(x1)>g(x2)  ⟹  −g(x1)<−g(x2)g(x_1) > g(x_2) \implies -g(x_1) < -g(x_2) olur. Bu iki eşitsizlik taraf tarafa toplandığında f(x1)−g(x1)<f(x2)−g(x2)  ⟹  h(x1)<h(x2)f(x_1) - g(x_1) < f(x_2) - g(x_2) \implies h(x_1) < h(x_2) elde edilir.
Eşitsizliklerin yönü aynı olduğundan taraf tarafa toplanabilirler ve bu durum h(x)h(x) fonksiyonunun daima artan olduğunu kanıtlar. Dolayısıyla ikinci öncül kesinlikle doğrudur.
4
İki fonksiyonun toplamı olan f(x)+g(x)f(x) + g(x) fonksiyonunun artanlığını bir karşıt örnekle inceleyin.
f(x)=2xf(x) = 2x (daima artan) ve g(x)=−3xg(x) = -3x (daima azalan) olsun. Bu durumda f(x)+g(x)=−xf(x) + g(x) = -x olur. Ancak −x-x fonksiyonu daima azalandır, artan değildir.
Bulunan karşıt örnek, artan ve azalan iki fonksiyonun toplamının daima artan olmak zorunda olmadığını gösterir. Dolayısıyla üçüncü öncül kesinlikle doğru değildir.

Anahtar Kavram

Artan ve azalan fonksiyonların tanımı ile eşitsizlik ilişkileri.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru