Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f ve g fonksiyonları için, * f fonksiyonu pozitif d… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f$ ve $g$ fonksiyonları için,

* $f$ fonksiyonu pozitif değerli ve azalandır.
* $g$ fonksiyonu negatif değerli ve artandır.

bilgileri veriliyor.

Buna göre, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi daima artandır?

Çarpım fonksiyonu olan

f(x) \cdot g(x)

Çarpım fonksiyonu incelendiğinde,

x_1 < x_2

için

f(x_1) > f(x_2) > 0

g(x_1) < g(x_2) < 0

özellikleri kullanılarak yapılan eşitsizlik işlemlerinde

(f \cdot g)(x_1) < (f \cdot g)(x_2)

sonucuna kesin olarak ulaşılır. Bu durum, çarpım fonksiyonunun daima artan olduğunu gösterir.

Tanımlardan yola çıkarak

x_1 < x_2

için fonksiyonların değer aralıklarını ve yönlerini belirleme.

f(x_1) > f(x_2) > 0

g(x_1) < g(x_2) < 0

eşitsizlikleri elde edilir.

f

fonksiyonunun pozitif değerli ve azalan,

g

fonksiyonunun ise negatif değerli ve artan olarak tanımlanması.

f(x_1) > f(x_2)

eşitsizliğinde her iki tarafı negatif değerli olan

g(x_1)

ile çarpma.

f(x_1) \cdot g(x_1) < f(x_2) \cdot g(x_1)

eşitsizliği elde edilir.

Negatif bir sayı ile çarpılan eşitsizliğin y��n değiştirmesi.

g(x_1) < g(x_2)

eşitsizliğinde her iki tarafı pozitif değerli olan

f(x_2)

ile çarpma.

f(x_2) \cdot g(x_1) < f(x_2) \cdot g(x_2)

eşitsizliği elde edilir.

Pozitif bir sayı ile çarpılan eşitsizliğin yönünü koruması.

Elde edilen iki eşitsizliği geçişme özelliği yardımıyla birleştirme.

f(x_1) \cdot g(x_1) < f(x_2) \cdot g(x_2)

yani

(f \cdot g)(x_1) < (f \cdot g)(x_2)

eşitsizliği elde edilir.

Her iki eşitsizlikte de ortak olan

f(x_2) \cdot g(x_1)

terimi üzerinden geçişme özelliğinin uygulanması.

Fonksiyonların artanlık ve azalanlık tanımlarının eşitsizlik özellikleri kullanılarak analiz edilmesi

Soru